Разложения квадратного трехчлена на множители

1. Квадратный трехчлен и его корни. Многочлен второй степени относительно какой-либо буквы называется иначе квадратным трехчленом или трехчленом второй степени относительно этой буквы.

Общий вид квадратного трехчлена:

     ax2 + bx + c,    (1)

где коэффициенты a, b и c являются некоторыми определенными числами, причем a ≠ 0 (заметим, что теперь a может быть и отрицательным), а x может принимать различные значения. В зависимости от значения x трехчлен может принимать различные значения. Букву x будем называть главной буквой или аргументом.

Пример. Обозначим через y трехчлен.

     y = x2 – 3x + 2.      (2)

Будем давать x произвольные значения. Соответствующие значения трехчлена x2 – 3x + 2, или, что то же самое, значения y, даны в следующей таблице:


Из этой таблице видим, что при x = 1 и при x = 2 значения трехчлена становится равны нулю.

Определение. Те значения аргумента, при которых значение трехчлена равно нулю, называются корнями этого трехчлена.

Так, 1 и 2 являются корнями трехчлена (2).

Чтобы найти корни трехчлена (1), надо вычислить те значения x, при которых он обращается в нуль, то есть те значения x, при которых

     ax2 + bx + c = 0.      (3)

Значит, корни трехчлена (1) мы найдем, решив уравнение (3). Но мы знаем, что это уравнение в зависимости от величины его дискриминанта b2 – 4ac может иметь два (различных или равных) корня либо не иметь корней.

Значит, то же можно сказать и о трехчлене (1). Он а) имеет два корня (различных или равных), если b2 – 4ac ≥ 0, б) не имеет корней, если b2 – 4ac < 0.

Дискриминант уравнения (3) называется также дискриминантом и трехчлена (1).

2. Разложение на множители трехчлена вида

x2 + px + q.

Допустим, что трехчлен

y = x2 + px + q

имеет два корня: x1 и x2. Тогда числа x1 и x2 являются корнями уравнения

x2 + px + q = 0.

Но по теореме Виета будем иметь:

x1 + x2 = –p; x1 * x2 = q.

Значит,

p = –(x1 + x2), q = x1 * x2 .

Подставим значения p и q в данный трехчлен и преобразуем полученное выражение:

y = x2 – (x1 + x2)x + x1 * x2 = x2 – x1x – x2x + x1 * x2 =
= x(x – x1) – x2(x – x1) = (x – x1)(x – x2).

Итак, мы получили:

x2 + px + q = (x – x1)(x – x2).

Таким образом, если трехчлен вида у = x2 + px + q имеет корни, то он может быть представлен в виде произведения двух сомножителей: один из них является разностью между аргументом и одним корнем, а другой — разностью между аргументом и другим корнем.

Пример.

y = x2 – 6x + 8.

Решив уравнение

x2 – 6x + 8 = 0,

найдем корни трехчлена: x1 = 2, x2 = 4. Тогда

x2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4).

3. Разложение трехчлена ax2 + bx + c. Возьмем теперь трехчлен (1)

y = ax2 + bx + c,

где a ≠ 0. Пусть корни уравнения (3)

ax2 + bx + c = 0

будут x1 и x2.
Вынеся в данном трехчлене a за скобки, мы получим:

(4)

Но так как x1 и x2 - корни уравнения (3), или, что то же, уравнения (приведенного) , то по предыдущему:

Подстановка в (4) дает:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни, можно представить в виде произведения трех сомножителей: один равен коэффициенту при x2, а два других — разности между аргументом и корнями трехчлена:

Пример 1.

y = 3x2 + 5x + 2;
D = 52 – 4 * 3 * 2 = 1 > 0.

Уравнение

3x2 + 5x + 2 = 0

имеет два корня:

Тогда

Полученное произведение можно представить в более удобном виде: перемножив сомножители 3 и , получим:

3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2).

Пример 2.

y = –6x2 + 17x – 5.
D = 172 – 4 * (–6) * (–5) = 289 – 120 = 169 > 0.

Уравнение

–6x2 + 17x – 5 = 0,

или, что то же, 6x2 – 17x + 5 = 0, имеет корни:

Тогда

,

или

y = –6x2 + 17x – 5 = –(2x – 5)(3x – 1).