Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям

Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным, длинным и часто искусственным путем. Задачи же, приводящие к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению. А к таким задачам приводят многочисленные и самые разнообразные вопросы физики, механики, гидромеханики, аэродинамики и многих других прикладных наук.

Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящих к уравнениям первой степени. Приведем примеры.

Задача 1. Две машинистки перепечатали рукопись за 6 час. 40 мин. Во сколько времени могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая одна, если первая затратила бы на эту работу на 3 часа больше второй?

Решение. Пусть вторая машинистка затратила на перепечатку рукописи x часов. Значит, первая, машинистка затратит, на эту же работу (x + 3) часов.

Узнаем, какую часть всей работы выполняет за один час каждая машинистка и какую — обе вместе.

Первая машинистка выполняется за час часть. Вторая: часть.

Обе машинистки выполняют часть.

Отсюда имеем:

По смыслу задачи x — положительное число (x > 0).

Умножим обе части уравнения на 20x(x + 3). После упрощения получим квадратное уравнение:

3x² – 31x – 60 = 0.

Так как D = 31² – 4 * 3 * (–60) = 1681 > 0, то уравнение имеет два корня. По формуле (B) найдем:

x₁ = ; x₂ = 12.

Но так как должно быть x > 0, то значение x = не является допустимым для данной задачи.

Далее, значение x = 12 необходимо проверить по условию задачи и только после этого записать ответ.

Ответ. Первая машинистка затратила на работу 12 + 3 = 15 часов, вторая 12 часов.

Задача 2. Собственная скорость самолета v км в час. Расстояние в l км самолет пролетел дважды: сначала по ветру, затем против ветра, причем на второй перелет он затратил на t часов больше. Вычислить скорость ветра.

Ход решения изобразим в виде схемы.

Скорость ветра x км в час.

Умножим обе части уравнения на (v – x)(v + x). После упрощения получим квадратное уравнение.

tx² + 2lx – tv² = 0.

Решив его (t ≠ 0), найдем:

.

Из полученной формулы заключаем:

1) Уравнение всегда имеет решение, так как подкоренное выражение всегда положительно.

2) Задача имеет единственное решение; второй корень отбрасываем, как отрицательный, так как по смыслу задачи x > 0.