Системы двух уравнений, из которых одно второй и одно первой степени

Задача. Прямоугольный участок площадью 1000 м2 огорожен забором длиной 130 м. Вычислить длину и ширину участка.

Решение. Пусть длина участка равна x метрам, ширина y метрам. Тогда площадь его будет равна xy м2. По условию эта площадь равна 1000 м2. Получаем уравнение:

     xy = 1000.    (1)

Мы получили уравнение, содержащее произведение неизвестных xy. Степенью одночлена, содержащего две буквы, считается сумма показателей степеней, с которыми эти буквы входят в одночлен. Так, одночлен 2x2y3 имеет степень 2 + 3 = 5 относительно букв x и y.

Значит, в полученном уравнении (1) член xy имеет вторую степень, и мы получили уравнение второй степени.

Кроме того, в задаче дана величина периметра участка. Так как периметр его равен 2x + 2y, то получаем второе уравнение:

2x + 2y = 130,

или (разделив все члены на 2)

    x + y = 65.     (2)

Это уравнение первой степени.

Итак, для решения задачи мы имеем систему уравнений, из которых одно второй и одно первой степени:

(3)

Решим ее способом подстановки. Выразим из второго уравнения y через x:

     y = 65 – x.      (4)

Сделав подстановку в первое уравнение, получим:

    x(65 – x) = 1000.      (5)

Система уравнений (4) и (5) и система (3) равносильны (§ 79).

Решив уравнение (5), найдем: x1 = 40, x2 = 25.

Отсюда подстановкой в (4) получим соответственно:

y1 = 65 – 40 = 25; y2 = 65 – 25 = 40.

Получили два решения:

1) длина участка 40 м, ширина 25 м;
2) длина 25 м, ширина 40 м. Очевидно, что фактически получен один ответ на вопрос задачи.

Решим в общем виде систему уравнений, из которых одно второй и одно первой степени.

Пусть имеем систему:

(6)

Найдем из второго уравнения y:

(7)

Сделав подстановку в первое уравнение, получим

(8)

Система уравнений (7) и (8) равносильна системе (6).

Но уравнение (8) является уравнением с одним неизвестным и не выше второй степени. Решив его, найдем значение x; подставив их в (7), найдем соответствующие значения y.

Пример. Решить систему:

(9)

Из второго уравнения находим:

     y = 2x – 3.      (10)

Подставив вместо y в первое уравнение 2x – 3, получим:

4x2 – (2x – 3)2 + 2x – 2(2x – 3) – 17 = 0.

Это уравнение по упрощении примет вид:

x – 2 = 0.

Отсюда

x = 2.

Подстановка в уравнение (10) дает:

y = 1.