Краткие исторические сведения. Квадратные уравнения

Квадратные уравнения и способы их решения были известны в глубокой древности. Так, еще за две тысячи лет до нашей эры задачи измерения земельных участков приводили древних вавилонян к решению квадратных уравнений.

В древней Греции (Пифагор, Евклид) квадратные уравнения решались геометрическим способом.

Знаменитый узбекский математик аль-Хорезми решал квадратные уравнения как алгебраическим, так и геометрическим способами.

Так как общая формула решения квадратных уравнений тогда еще не была выведена, то аль-Хорезми приводил решения шести различных видов квадратных уравнений, например:

  1. Один квадрат равен корням (x2 = ax).
  2. Один квадрат и корни равны числу (x2 + ax = b).
  3. Один квадрат и число равны корням (x2 + a = bx)

и т. д.

Приведем пример решений аль-Хорезми обоими способами.

x2 + 21 = 10x.

  1. Раздели число корней пополам: 10 : 2 = 5.
  2. Умножь это число само на себя: 5 * 5 = 25.
  3. Вычти из него число: 25 – 21 = 4.
  4. Извлеки квадратный корень: √4 = 2.
  5. Этот корень прибавь к половине корней или вычти из нее: 5 + 2 = 7; 5 – 2 = 3.

Если записать все приведенные действия одной формулой, то получим:

Как видим, решение аль-Хорезми полностью совпадает с современным решением по формуле.

Приведем пример геометрического решения.

x2 + 10x = 39.

Пусть отрезок AB = x (черт. 57), а отрезок CD = 5.

Геометрический способ решения квадратного уравнения

Строим квадрат со стороной, равной AB + CD, то есть равной x + 5, и разбиваем его на четыре участка, как показано на чертеже.

Площадь квадрата равна (x + 5)2. С другой стороны, площадь участков I, II и III равна по условию 39, площадь IV равна 25. Значит, площадь всего квадрата равна 39 + 25 = 64. Отсюда имеем:

(x + 5)2 = 64, x + 5 = 8, x = 3.

Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, имеются в старинных китайских и индийских математических трактатах.

Приведем задачу из сочинения индийского математика Бхаскары.

Стая обезьян забавлялась; квадрат одной восьмой части их резвился в лесу; остальные двенадцать кричали на вершине холма. Скажи мне: сколько было всех обезьян?