Графическое решение квадратного уравнения

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение

x2 + px + q = 0;

перепишем его так:

     x2 = –px – q.     (1)

Построим графики зависимостей:

y = x2 и y = –px – q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола (см. § 89); вторая зависимость – линейная; ее график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда число x является его решением, ординаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению x соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абсциссой x.

Отсюда следует графический способ решения квадратного уравнения: чертим параболу y = x2 (эта парабола для всех приведенных уравнений одна и та же, и ее достаточно начертить один раз или сделать лекало), чертим (например, по двум точкам) прямую y = –px – q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры.

1. Решим уравнение:

4x2 – 12x + 7 = 0.

Представим его в виде

.

Построим параболу y = x2 и прямую .

Для построения прямой можно взять, например, точки . Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абсциссами x1 ≈ 0,8 и x2 ≈ 2,2.

2. x2 – x + 1 = 0.

Запишем уравнение в виде

x2 = x – 1.

Построив параболу y = x2 и прямую y = x – 1, увидим, что они не пересекаются (черт. 56). Значит, уравнение не имеет корней.

Графическое нахождение корней квадратного уравнения

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D = (–1)2 – 4 * 1 * 1 = –3 < 0,

а поэтому уравнение не имеет корней.

Пример 3.

x2 – 2x + 1 = 0.

Если аккуратно начертим параболу y = x2 и прямую y = 2x – 1, то увидим, что они имеют одну общую точку (прямая касается параболы), x = 1, y = 1; уравнение имеет один корень x = 1 (проверить это вычислением).