Квадратное уравнение общего вида

Решим уравнение:

4x2 – 5x – 21 = 0.

Разделив все его члены на 4, получим:

.

Но это уравнение — приведенное, и решать его мы уже умеем.
Применим формулу (A) предыдущего параграфа:

Таким же путем решим теперь квадратное уравнение в общем виде:

    ax2 + bx + c = 0.     (1)

Разделим обе части этого уравнения на a (мы знаем, что a ≠ 0). Получим приведенное уравнение, равносильное данному:

. (2)

Вычислим подкоренное выражение в формуле (A) корней приведенного квадратного уравнения (2):

. (3)

Если это выражение неотрицательно, то, применив формулу (A), получим корни уравнения (1):

.

Заметив, что (так как мы считаем, что a > 0, то 4a2 = 2a), получим окончательно следующую общую формулу корней квадратного уравнения:

(B)

Если выражение (3) отрицательно, то уравнение не имеет корней.

Словами формулу (B) можно выразить так:

Корни квадратного уравнения равны дроби, знаменатель которой равен удвоенному первому коэффициенту, а числитель — второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента и свободного члена.

Примеры.

1. x2 – 7x + 12 = 0.

Здесь a = 1, b = –7, с = 12. Применяя формулу (B), получим:

2. 3x2 – 5x – 2 = 0.

Здесь a = 3, b = –5, c = –2. По формуле (B) получим:

Формула (B) применима и в том случае, когда один из коэффициентов b или c равен нулю.

3. 9x2 – 49 = 0.

Здесь a = 9, b = 0, c = –49. По формуле (B) получим:

4. 2x2 + 5x = 0.

Здесь a = 2, b = 5, c = 0.

Формула (B) дает:

Если

b = 2k

, то уравнение (1) запишется так:

ax2 + 2kx + c = 0,

и формула (B) примет вид:

Этой формулой удобно пользоваться, если b — четное число.

Пример. 5x2 – 14x + 8 = 0.

Так как коэффициент при x — четное число, то применяем формулу (C):

Решим дробное уравнение:

Умножим обе части уравнения на (x – 2)(x – 3).

Получим:

x(x – 3) + 2 = 3(x – 2), или x2 – 6x + 8 = 0.

Получили квадратное уравнение. Так как (–3)2 – 8 = 1 > 0, то оно имеет два корня. Решив его по формуле (A), найдем:

x1 = 2; x2 = 4.

Теперь проверим корни, так как возможно появление посторонних корней (см. § 70).

Для данного уравнения значение x = 2 не является допустимым, а поэтому уравнение имеет единственный корень x = 4.