Квадратные уравнения

Уравнение, в котором левая часть — многочлен второй степени относительно неизвестного, а правая — нуль, называется уравнением второй степени или, короче, квадратным.

В нормальном виде квадратное уравнение записывается так:

     ax2 + bx + c = 0,    (1)

где a — любое не равное нулю число, b и c — любые числа, а x — неизвестное.

Так, например, уравнения

x2 – x – 1 = 0;     2x2 – 3x + 5 = 0;     0,21x2 + 1,23x + 0,7 = 0

являются квадратными.

Если коэффициент при x2 отрицателен, то мы можем сделать его положительным, умножив обе части уравнения на –1. Например, умножив обе части уравнения –3x2 + 5x – 6 = 0 на –1, получим равносильное ему уравнение 3x2 – 5x + 6 = 0. Поэтому в дальнейшем для простоты будем всегда предполагать, что a > 0.

В частности, b или c, или оба вместе могут быть равны нулю. Тогда уравнение называется неполным квадратным уравнением. Значит, неполные квадратные уравнения могут быть таких видов:

1) ax2 + bx = 0 (при c = 0);

2) ax2 + c = 0 (при b = 0).

В частности, если во втором случае и c = 0, то уравнение примет вид: ax2 = 0.

Если в уравнении (1) a = 1, то уравнение называется приведенным. Оно обычно записывается в таком виде:

x2 + px + q = 0,

где p и q — любые числа.

Всякое уравнение вида (1) можно сделать приведенным; для этого достаточно все его члены разделить на a.

В дальнейшем для краткости будем называть в уравнении (1) a первым коэффициентом, b — вторым и c — свободным членом.