Вычитание одночленов и многочленов

1. Вычитание одночленов. Пусть из одночлена 5a2b требуется вычесть одночлен 3ab2. Запишем:

5a2b – (+3ab2).

Одночлены 3ab2 и –3ab2 являются противоположными, то есть имеют противоположные числовые значения при любых значениях a и b. Но мы знаем, что вычитание любого числа можно заменить прибавлением числа, противоположного вычитаемому.

Значит,

5a2b – (+3ab2) = 5a2b + (–3ab2).

По правилу сложения одночленов получим:

5a2b + (–3ab2) = 5a2b – 3ab2.

Итак, имеем:

5a2b – (+3ab2) = 5a2b – 3ab2.

Проверим правильность нашего вывода, сложив разность с вычитаемым:

5a2b – 3ab2 + (+3ab2) = 5a2b.

Мы получили уменьшаемое. Значит, вычитание произведено верно.

Отсюда выводим такое правило:

Чтобы вычесть одночлен, достаточно приписать его с противоположным знаком к уменьшаемому.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.

2. Вычитание многочленов. Пусть требуется из многочлена 5x2 – 3xy + y2 вычесть многочлен 6x2 – 8xy + y3. Надо найти такой третий многочлен-разность, который в сумме с вычитаемым 6x2 – 8xy + y3 даст многочлен, тождественно равный уменьшаемому 5x2 – 3xy + y2. Если из значения уменьшаемого вычесть значение вычитаемого, то должно получиться значение разности. Но мы знаем: чтобы вычесть какое-либо число, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Прибавим к многочлену 5x2 – 3xy + y2 многочлен –6x2 + 8xy – y3, противоположный вычитаемому, тогда получим:

(5x2 – 3xy + y2) – (6x2 – 8xy + y3) =
= (5x2 – 3xy + y2) + (–6x2 + 8xy – y3) =
= 5x2 – 3xy + y2 – 6x2 + 8xy – y3 =
= –x2 + 5xy + y2 – y3
.

Убедимся, что вычитание выполнено правильно; для этого сложим полученный многочлен с многочленом вычитаемым:

(–x2 + 5xy + y2 – y3) + (6x2 – 8xy + y3) =
= –x2 + 5xy + y2 – y3 + 6x2 – 8xy + y3 =
= 5x2 – 3xy + y2
.

Получили уменьшаемое. Отсюда выведем правило:

Чтобы вычесть многочлен, достаточно приписать к уменьшаемому все члены вычитаемого с противоположными знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.

3. Раскрытие скобок. Из сказанного в § 34 о противоположных многочленах можно вывести следствие:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать с противоположными знаками (без скобок) все члены, стоящие в скобках:

–(a – b + c) = –a + b – c.

4. Заключение в скобки. Иногда бывает нужно заключить многочлен или его часть в скобки, поставив перед скобкой знак минус. Будем руководствоваться следующим правилом:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобках все члены многочлена, взяв их с противоположными знаками:

a – b + c = –(–a + b – c).

Убедиться в правильности этого равенства легко, раскрыв в правой части скобки по правилу, изложенному в п. 3.

Пример. Вычислить выражение:

368 – 179 + 149.

Заключим второй и третий члены в скобки, поставив перед ними знак минус. Согласно правилу получим:

368 – (179 – 149).

Начиная с вычитания в скобках, легко произведем в уме все вычисления.

5. Вычитание расположенных многочленов. Вычитание расположенных многочленов выполняется так: у вычитаемого многочлена меняют знаки всех членов на противоположные, подписывают его под уменьшаемым так же, как и при сложении, и делают приведение подобных членов.

Пример.

(8x4 – 3x3 + 7x2 + x – 18) – (5x4 – 6x3 + 3x2 + 4x – 7).

Располагаем действие так:

Вычитание расположенных многочленов