Деление многочленов при помощи разложения на множители

В арифметике выполнение действия деления можно упростить, если делимое и делитель разложены на множители. Пусть, например, требуется разделить число 2772 на 28. Разложив (способами, известными из арифметики) число 2772 на множители, получим:

2772 = 22 * 32 * 7 * 11.

Зная, что 28 = 22 * 7, мы можем выделить в делимом сомножитель, равный делителю:

2772 = (22 * 7) * (32 * 11).

Отсюда без труда находится искомое частное (как произведение оставшихся множителей):


Сказанное можно применить и к делению многочленов. Если, разложив на множители данные многочлены, можно в многочлене-делимом выделить сомножитель, равный делителю, то деление выполняется нацело и частное равно произведению оставшихся множителей.
Приведем пример. Выполнить деление:

Разложим делимое на множители:

x5 — a4x = x(x4 – a4) = x(x2 – a2)(x2 + a2) =
= x(x – a)(x + a)(x2 + a2)
.

Разложим на множители делитель:

x2 + ax = x(x + a).

Мы видим, что первый и третий множители делимого дают (в произведении) делитель.
Значит, частное есть целое выражение:


Из формул сокращенного умножения вытекают следующие формулы деления, которые полезно запомнить:
Разность квадратов двух чисел, деленная на разность оснований, равна сумме этих чисел.
Разность квадратов двух чисел, деленная на сумму оснований, равна разности этих чисел.
Разность кубов двух чисел, деленная на разность оснований, равна неполному квадрату суммы этих чисел.
Сумма кубов двух чисел, деленная на сумму оснований, равна неполному квадрату разности этих чисел.