Расположенные многочлены

Пусть многочлен содержит только одну букву в различных степенях, например:

    8a – 3a3 + 5a4 – 1.    (1)

Пользуясь переместительным законом сложения, мы можем расположить его члены по убывающим степеням буквы a:

    5a4 – 3a3 + 8a – 1 .    (2)

Тот же многочлен (1), расположенный по возрастающим степеням буквы a, примет вид:

    –1 + 8a – 3a3 + 5a4 .    (3)

Расположение многочлена по степеням данной буквы есть тождественное преобразование этого многочлена.

В дальнейшем, говоря о расположении членов многочлена, мы будем подразумевать расположение по убывающим степеням главной буквы.

Если многочлен содержит две или несколько букв, то выбирают одну из них, которую считают главной, и располагают многочлен по степеням этой главной буквы. Например, выражение

    3x3 – 2ax2 + a4x – 5a2    (4)

является многочленом, расположенным по убывающим степеням буквы x.

Первый член расположенного многочлена, содержащий главную букву в наивысшей степени, называется старшим, а последний — низшим членом этого многочлена. Степень старшего члена называется степенью и самого многочлена (по отношению к главной букве).

Многочлен (2) — четвертой, а (4) — третьей степени относительно главной буквы. Если низший член совсем не содержит главной буквы, то он называется свободным членом.

В многочлене (2) 5 есть коэффициент при a4; –3 — коэффициент при a3; 8 — коэффициент при a; –1 — свободный член.

В многочлене (4) 3 — коэффициент при x4; –2a — коэффициент при x2; a4 — коэффициент при x; –5a2 — свободный член.