Сложение одночленов и многочленов

1. Сложение одночленов. Пусть требуется сложить одночлены:

13x2; –8x; 4x3; –5; –3x.

Получим:

13x2 + (–8x) + 4x3 + (–5) + (–3x).

Полученное выражение является алгебраической суммой. Согласно введенному условию (§ 16) мы можем знак сложения везде опустить и написать короче:

13x2 – 8x + 4x3 – 5 – 3x.

В этом выражении имеется два подобных члена.

Приведем их и заодно расположим многочлен по убывающим степеням относительно x:

4x3 + 13x2 – 11x – 5.

(Проверить подстановкой в данные одночлены и в полученную сумму значений: 1) x = 1; 2) x = –2.)

Значит, мы можем вывести такое правило:

Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их (в виде алгебраической суммы) один за другим с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, то их надо привести.

2. Сложение многочленов. Решим задачу. В одной корзине было x яблок, в другой на y яблок больше, чем в первой, а в третьей на 27 яблок меньше, чем во второй. Сколько яблок было во всех трех корзинах?

Решение.
1) В первой корзине было x яблок.
2) Во второй корзине было (x + y) яблок.
3) В третьей корзине было (x + y – 27) яблок.
4) В трех корзинах было [x + (x + y) + (x + y – 27)] яблок.

Полученный результат представляет собой сумму одночлена и двух многочленов.

Упростим этот ответ. Мы знаем, что каждое из выражений x + y и x + y – 27 является алгебраической суммой. Поэтому по правилу прибавления суммы можем записать:

x + (x + y) + (x + y – 27) = x + x + y + x + y – 27.

После приведения подобных членов получим окончательно:

3x + 2y – 27.

Определить, сколько было яблок в корзинах, если:

1) x = 40; y = 30; 2) x = 35; y = 42.

Значит, мы можем вывести такое правило для сложения многочленов:

Чтобы сложить многочлены, надо записать последовательно (в виде алгебраической суммы) все их члены с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.

3. Раскрытие скобок. При решении предыдущей задачи пришлось раскрывать скобки, перед каждой из которых стоял знак плюс. Значит, можно сделать вывод:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с их знаками.

Примечание. Если выражение начинается со скобки, перед которой нет никакого знака, то подразумевается знак плюс, например:

(a2 – 3a + 2) + (3a – 7) = a2 – 3a + 2 + 3a – 7 = a2 – 5.

4. Заключение в скобки. Иногда бывает нужно, наоборот, заключить многочлен или часть его в скобки. Так мы поступали, делая приведение подобных членов (см. пример предыдущего параграфа). Возьмем такой пример. Пусть надо вычислить выражение:

136 + 258 – 238.

Очевидно, что здесь выгоднее сначала вычесть 238 из 258 и разность 20 прибавить к 136. Вычисления легко и быстро выполняются в уме. Чтобы показать это, заключим второй и третий члены в скобки:

136 + (258 – 238).

Пусть вообще нужно заключить в скобки многочлен или часть его и перед скобкой поставить знак плюс. Будем руководствоваться следующим правилом:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками:

a – b + c = +(a – b + c).

Убедиться в верности этого равенства легко, раскрыв скобки по правилу, изложенному в п. 3.

5. Сложение расположенных многочленов. Если многочлены расположены по степеням одной и той же буквы (оба по возрастающим или оба по убывающим), то их сложение удобнее производить следующим образом: подписывают один многочлен под другим так, чтобы подобные члены находились один под другим; после этого сразу делают приведение подобных членов и записывают окончательный результат.

Пример 1.

Сложение многочленов

Так же производится сложение расположенных многочленов и тогда, когда они содержат более одной буквы.

Пример 2.

Сложение многочленов