Одночлен и многочлен

1. Рациональные алгебраические выражения. В предыдущих главах рассматривались пять действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

В настоящей главе будем рассматривать алгебраические выражения, составленные с помощью этих пяти действий. Все такие выражения называются рациональными.

Определение 1. Алгебраические выражения, составленные из чисел, обозначенных цифрами и буквами, с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, называются рациональными.

Примеры рациональных выражений.

Примеры рациональных выражений
2. Целые и дробные выражения. Рассмотрим следующие рациональные выражения:
Целые и дробные выражения

При рассмотрении различных выражений в алгебре обращают главное внимание на действия, которые надо произвести над числами, обозначенными буквами.

Первое и второе из этих выражений совсем не содержат действия деления на числа, обозначенные буквами. Такие выражения называются целыми.

Второе выражение содержит действие деления на число 4, обозначенное цифрой. Но мы можем, разделив сначала 5 на 4, записать это второе выражение так:

, или 1,25x.

Выражение

Целое выражение

также является целым; его можно представить в виде
Целое выражение

Наконец, третье выражение содержит деление на число, записанное буквой. (Говорят также, что это выражение имеет буквенный делитель.) Такие выражения называются дробными.
Еще примеры дробных выражений:
Дробные выражения
Определение 2. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на буквенное выражение.

Определение 3. Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение.

Можно короче сказать: рациональное алгебраическое выражение называется целым или дробным, смотря по тому, имеет или не имеет оно буквенного делителя.

3. Одночлен. Из целых выражений наиболее простыми считаются такие, которые содержат только действия умножения и возведения в степень, например:

Целое выражение

Такие выражения называются одночленами.

Определение 4. Алгебраическое выражение, которое содержит только действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

Таким образом, одночлен представляет собой произведение числового множителя и букв, каждая из которых взята в определенной степени.

Примечание. Так как возведение в степень есть частный случай умножения (мы можем, например, a3 записать в виде aaa), то можно сказать, что одночлен содержит только одно действие — умножение.

Выражение, состоящее только из одной буквы, также считается одночленом.

Одночленом считается и всякое отдельное число, записанное цифрами.

Выражение вида также считается одночленом, так как хотя оно и содержит деление, но делитель 4 мы можем отнести к числовому множителю и записать выражение так:

, или 0,75a2b.

4. Многочлен. Несколько одночленов, соединенных знаками сложения и вычитания, образуют новое алгебраическое выражение, которое называется многочленом.
Например: 3x2 – 5xy + 6y2 – 8.

Мы уже знаем, что всегда вычитание можно заменить сложением, и всякое выражение, в которое входят сложение и вычитание, представляет собой алгебраическую сумму. Например, приведенное выше выражение можно записать так:

3x2 + (–5xy) + 6y2 + (–8).

Определение 5. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом.

Каждый одночлен, входящий в состав многочлена, называется его членом.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется также двучленом; многочлен, состоящий из трех членов, называется трехчленом и т. д.

Примеры двучленов:

x2 + 1; a + b; 3a2b – 4b2c.

Примеры трехчленов:

x2 + x + 1; 3y3 – 4ay2 + 4.

Одночлен считается частным случаем многочлена: это многочлен, состоящий из одного члена.

Примечание. Изучив действия над одночленами и многочленами, мы сможем любое целое алгебраическое выражение представить в виде алгебраической суммы одночленов (в частности, может получиться одночлен). Поэтому всякое целое выражение, как например

(x + y)b; 2(a2 + 3b2) – 6b2; m(m + n) – m2,

считается многочленом. Алгебраическая сумма одночленов есть так называемый нормальный (обычный), простейший вид целого алгебраического выражения. С этого простейшего вида мы и начнем изучать многочлены.
Дробные рациональные выражения, как например

Дробные рациональные выражения

не являются целыми, поэтому из нельзя считать многочленами, в частности их нельзя считать одночленами.