Порядок действий

Когда в арифметике над числами нужно было произвести различные действия, то мы производили их в порядке, установленном особыми правилами. Эти же правила остаются и в алгебре.

Напомним, что

  • сложение и вычитание называются действиями первой ступени;
  • умножение и деление называются действиями второй ступени.

Напомним теперь правила о порядке действий.

Правило 1. Действия одной и той же ступени производятся в том порядке, в каком они записаны.

Примеры.

17 - 11 + 8 = 6 + 8 = 14;
Деление и умножение чисел.

Правило 2. Если выражение содержит действия различных ступеней, то сначала производят действия высшей ступени, затем низшей ступени.

Поясним это правило на примерах.

Пример 1.

Последовательность действий.

Первым произведено умножение (действие второй ступени), затем — сложение.

Пример 2.

Последовательность действий над вещественными числами.

И в этом примере мы сначала выполнили все умножения (действия второй ступени), а затем (в порядке записи произвели сложение и вычитание (действия первой ступени).

Но иногда приходится отступать от порядка, указанного в правиле 2. Покажем это на задаче.

Задача. Из двух пунктов одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного a км в час, другого b км в час. Каково расстояние между пунктами, если велосипедисты встретились через t часов?

Решим задачу по вопросам.

1) Какое расстояние проходили за час оба велосипедиста вместе?

a + b (км).

2) Чему равно расстояние между двумя пунктами?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо полученное расстояние a + b умножить на t. Если мы запишем это действие в виде

a + bt (км),

то ответ будет неверен, так как по правилу 2 мы должны в этом выражении b умножить на t и результат прибавить к a. Нам надо показать, что здесь сначала следует произвести сложение (действие первой ступени), а затем умножение (действие второй ступени). Показывается это при помощи скобок, и выражение записывается так:

(a + b)t (км).

Правило 3. Если нужно произвести раньше действия низшей ступени, то применяются скобки. Действия над числами, заключенными в скобки, производятся первыми.

Приведем примеры.

1) Вычисление значения в выражении без скобок, но Вычисление значения в выражении со скобками.
2) , но .

Если дано дробное выражение, записанное с помощью черты, то черта заменяет скобки и означает, что над вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.

Пример.

Последовательность действий в выражении с дробью.

При a = 20, b = 16, c = 8, d = 2 получим:

Вычисления значения выражения с дробью.