Из истории отрицательных чисел

Еще несколько тысяч лет назад потребности в измерении привели к расширению множетства натуральных чисел, которыми до тех пор пользовались люди. Были введены новые, дробные числа, с помощью которых стало возможно производить измерения (длин, площадей, веса и пр.) с любой степенью точности, допускаемой инструментами.

Не так обстояло дело с отрицательными числами. В практической деятельности людей не ощущалась потребность во введении отрицательных чисел, и они прочно вошли в математику и получили применение лишь в XVII веке.

Но в самой математике потребность в расширении числового множества путем введения новых, отрицательных чисел ощущалась уже давно, и по мере развития математической науки эта потребность становилась все более настоятельной.

Так, еще в III веке греческий математик Диофант при выполнении некоторых преобразований, например

(2x – 3)(2x – 3) = 4x — 12x + 9,

фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел, которое он выражал так: «Отнимаемое, умноженное на прибавляемое, дает в результате отнимаемое. Отнимаемое, умноженное на отнимаемое, дает в результате прибавляемое».

Из этой формулировки видно, что Диофант еще не признавал самостоятельного существования отрицательных чисел; для него они были прежними числами, «отнимаемыми» от какого-либо другого числа. Поэтому, если, например, при решении уравнения получался отрицательный корень, Диофант его просто отбрасывал как «недопустимый».

Но уже индийский ученый Брамагупта (VII век) в своих вычислениях свободно пользовался отрицательными числами и давал им наглядное истолкование. Он обозначал имущество положительными числами, а долг — отрицательными.

В этой наглядной форме он давал и правила действия с рациональными числами, например: «Сумма двух имуществ — имущество. Сумма двух долгов — долг. Сумма имущества и долга равна их разности, а если они равны, то нулю» и т. д.

Индийский же математик Бхаскара (XII век) пользуется степенью отрицательного числа. В его сочинении «Венец системы» говорится:

«Квадрат как положительного, так и отрицательного числа дает положительное число, например:

(+5)2 = 25 и (–5)2 = 25».

В Европе математики XVI века хотя и пользовались иногда отрицательными числами, все же называли их «ложными» и «неясными», «меньшими, чем ничто» и т. п.

Лишь голландский математик Жирар (XVI–XVII века) пользуется отрицательными числами наравне с положительными. Так, решая уравнение

x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0,

он приводит три его корня:

x1 = +3, x2 = +1, x3 = –2.

Бурное развитие естествознания и техники в XVII веке предъявляло повышенные требования и к математике, требовало ее дальнейшего развития и усовершенствования математического аппарата. Неприменение отрицательных чисел создавало излишние трудности в математических вычислениях и преобразованиях. Начиная с XVII века отрицательные числа прочно входят в математику и находят практические применения. Французский философ и математик Декарт дает наглядное истолкование чисел с помощью точек числовой оси. Он пользуется отрицательными числами для графического изображения различных процессов и алгебраических выражений.