Законы умножения

Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

1. Переместительный закон.

Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

ab = ba.

Это следует из определения умножения рациональных чисел. В самом деле, мы берем произведение абсолютных величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в котором берем эти абсолютные величины.

Знак произведения тоже определяем независимо от того, в каком порядке следовали сомножители. Мы смотрим только, одинаковые ли знаки у обоих сомножителей или различные.

Переместительный закон справедлив для произведения любого числа сомножителей. Так, например, перемножая числа –2, 3, 5 и –8 в любом порядке, мы получим одно и то же число 240. В самом деле, в каком бы порядке мы ни перемножали абсолютные величины сомножителей, получим одно и то же число 2 * 3 * 5 * 8 = 240. Знак произведения получим, подсчитав количество отрицательных сомножителей независимо от порядка, в каком они расположены. В нашем примере число 240 следует взять со знаком +, так как в произведении содержится два отрицательных сомножителя.

2. Сочетательный закон.

При умножении любых рациональных чисел остается в силе сочетательный закон умножения.

Для любых трех рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

(ab)c = a(bc).

В самом деле, в выражении a(bc) мы должны абсолютную величину a умножить на произведение абсолютных величин b и c, в выражении (ab)c мы должны произведение абсолютных величин a и b умножить на абсолютную величину c. Но абсолютные величины — это неотрицательные числа (то есть положительные или равные нулю), а для таких чисел сочетательный закон верен.

Значит, абсолютная величина обеих частей равенства одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих произведений будет один и тот же, каковы бы ни были знаки чисел a, b и с (оба произведения положительны, если среди чисел a, b и с нет отрицательных или два из них отрицательны; оба произведения отрицательны, если одно из этих чисел или все три отрицательны; оба произведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел a, b или c равно нулю).

Таким же образом можно убедиться в справедливости сочетательного закона для произведения любого числа сомножителей.

Пример.

Это произведение нетрудно вычислить, перемножив сначала второй и третий сомножители:
3. Распределительный закон.

Для любых рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

(a + b)c = ac + bc.

Убедимся в этом на примерах.

1) [2 + (–3)] * 4 = 2 * 4 + (–3) * 4.

Действительно,

[2 + (–3)] * 4 = (–1) * 4 = –4;
2 * 4 + (–3) * 4 = 8 – 12 = –4.

2) [(–3) + 5] * (–6) = (–3) * (–6) + 5 * (–6).

Действительно,

[(–3) + 5] * (–6) = 2 * (–6) = –12;
(–3) * (–6) + 5 * (–6) = 18 – 30 = –12.

Распределительный закон имеет место при умножении на какой-либо множитель суммы любого числа слагаемых.

Именно:

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Пример.

[(+7) + (–3) + (+2)] * (–3) = (+6) * (–3) = –18
и
(+7) * (–3) + (–3) * (–3) + (+2) * (–3) =
= (–21) + (+9) + (–6) = –18.

Пользуясь переместительным законом умножения, в последнем примере можно переставить сомножители, тогда получим следующее:

(–3) * [(+7) + (–3) + (+2)] = (–3) * (+6) = –18
и
(–3) (+7) + (–3) (–3) + (–3) (+2) =
= (–21) + (+9) + (–6) = –18.

Отсюда вывод:

Чтобы умножить какое-либо число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Отметим следующие два свойства умножения:

1. Умножение произведения.
Чтобы умножить произведение нескольких чисел на число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив остальные без изменения.

Пример.

[4 * (–3) * 5] * (–2) = (–60) * (–2) = 120
и
[4 * (–2)] * (–3) * 5 = (–8) * (–3) * 5 = 120.

2. Умножение на произведение.

Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и так далее до конца.

Пример.

4 * [5 * (–2) * 3] = 4 * (–30) = –120
и
(4 * 5) * (–2) * 3 = 20 * (–2) * 3 = (–40) * 3 = –120.

Эти последние свойства вытекают из законов умножения