Умножение одночленов

1. Умножение степеней одного и того же основания. Вычислим выражение 23 * 22:

23 * 22 = (2 * 2 * 2) * (2 * 2) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 25.

Итак,

23 * 22 = 25.

Действительно,

23 * 22 = 8 * 3 = 32 = 25.

Точно так же

3 * 33 = 3 * 3 * 3 * 3 = 34.

a2 * a4 = aaaaaa = a6.

Мы видим, что показатель в произведении каждый раз равен сумме показателей в сомножителях (в частности, вспомним, что a = a1). Это и понятно: ведь каждый раз основание степени приходится брать сомножителем столько раз, каков показатель в первом сомножителе, и еще столько раз, каков показатель во втором сомножителе.

Следовательно, в произведении равный сомножитель будет повторяться столько раз, сколько единиц содержит сумма показателей сомножителей.

Если буквами m и n обозначить любые целые положительные (натуральные) числа, то это можно записать так:

am * an = am+n.

Отсюда можно вывести такое правило:

Правило. При умножении степеней одного и того же числа показатели степеней складываются, а основание остается прежним.

Правило остается то же, если перемножаются не два, а три и более сомножителей, например:

22 * 22 * 23 = 22+2+3 = 27.

В общем виде:

am * an * ap = am+n+p.

2. Умножение одночленов. Пусть требуется перемножить одночлены:

3a2b3c и 5a3bc2d.

По правилу умножения на произведение имеем:

3a2b3c * 5 * a3 * b * c2 * d.

Воспользовавшись переместительным и сочетательным законами, можем это произведение записать так:

(3 * 5)(a2 * a3)(b3 * b) (c * c2)d.

Произведя умножение в каждой скобке, получим окончательно:

15a5b4c3d.

Итак,

3a2b3c * 5a3bc2d = 15a5b4c3d.

(Проверить подстановкой: a = 1; b = 1; c = 2; d = 5.)

Если надо перемножить более двух одночленов, то поступаем таким же образом, например:

2x2y * 0,5x3y * 4y2z2 = (2 * 0,5 * 4)(x2 * x3)(y * y * y2)z2 = 4x5y4z2.

Отсюда видно, что произведение одночленов есть одночлен, который составляется по следующему правилу:

При перемножении одночленов их коэффициенты перемножаются, показатели степеней одинаковых букв, содержащихся в обоих сомножителях, складываются, а буквы, входящие только в один сомножитель, берутся в произведении с их показателями.

Пример.

7x2y2z3 * 2x3y2 = 14x5y4z3.