25 : 22 = 32 : 4 = 8 = 23.
Итак,
25 : 22 = 23.
Точно так же:
36 : 34 = 32.
Проверка. 32 * 34 = 36.
a5 : a3 = a2.
Проверка. a2 * a3 = a5.
Вообще при делении степеней одного и того же числа в частном должно получиться то же число с таким показателем, который в сумме с показателем делителя даст показатель делимого. Значит, показатель в частном должен быть равен разности показателей в делимом и в делителе.
a7 : a4 = a3.
Вообще
am : an = am – n.
Здесь m и n — натуральные числа, причем m > n.
Действительно, умножим частное am – n на делитель an:
am – n * an = a(m – n) + n = am.
Мы получили делимое, значит, деление выполнено правильно.
Мы пришли к правилу, которое кратко можно сформулировать так:
При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого надо вычесть показатель делителя.
Примечание. Если m равно n, то в этом случае делитель и делимое равны и, значит, частное равно единице:
am : am = 1.
2. Деление одночленов. Пусть требуется выполнить деление:
10a5b3c : 4a3b.
Воспользуемся свойствами деления, приведенными в § 21.
Разделим делимое на 4. Для этого достаточно разделить на 4 коэффициент 10. Получим:
2,5a5b3c.
Разделим результат на a3. Для этого достаточно a5 разделить на a3. Получим:
2,5a2b3c.
Разделим результат на b. Для этого достаточно разделить b3 на b. Получим окончательно:
10a5b3c : 4a3b = 2,5a2b2c.
Умножив 4a3b на 2,5a2b2c, получим делимое.
Значит, деление произведено верно.
Конечно, нет необходимости записывать отдельно все промежуточные результаты. Все деления производятся последовательно и сразу записывается результат.
Пример 1. 18x6y2z3 : 6x2y2z = 3x4z2.
Делим 18 на 6; в частном записываем 3.
Делим x6 на x2; в частном записываем x4.
Делим y2 на y2; в частном получается единица, которую не пишем.
Делим z3 на z; в частном записываем z2.
В итоге получили частное 3x4z2.
(Проверить подстановкой: x = 1, y = 2, z = 2.)
Пример 2. Решить уравнение:
6ax3 : 3ax2 = 4.
Произведя деление, получим:
2x = 4; x = 2.
Проверить ответ подстановкой в данное уравнение.
Итак, можем вывести такое правило:
Правило. Чтобы разделить одночлен на одночлен, достаточно:
1) разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя;
2) к полученному частному приписать множителями каждую букву делимого с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе.
Применяя это правило, надо иметь в виду, что:
- Если какая-либо буква входит только в делимое, то она входит в частное с тем же показателем.
- Если показатели какой-либо буквы в делимом и в делителе одинаковы, то эта буква не войдет в частное.
Деление одночленов нацело невыполнимо:
- Если показатель какой-либо буквы в делителе больше показателя той же буквы в делимом.
- Если делитель содержит букву, которой нет в делимом.