Деление одночленов

1. Деление степеней одного и того же основания. Пусть требуется разделить 2⁵ на 2²:

2⁵ : 2² = 32 : 4 = 8 = 2³.

Итак,

2⁵ : 2² = 2³.

Точно так же:

3⁶ : 3⁴ = 3².

Проверка. 3² * 3⁴ = 3⁶.

a⁵ : a³ = a².

Проверка. a² * a³ = a⁵.

Вообще при делении степеней одного и того же числа в частном должно получиться то же число с таким показателем, который в сумме с показателем делителя даст показатель делимого. Значит, показатель в частном должен быть равен разности показателей в делимом и в делителе.

a⁷ : a⁴ = a³.

Вообще

a^m : aⁿ = a^{m – n}.

Здесь m и n — натуральные числа, причем m > n.

Действительно, умножим частное a^{m – n} на делитель aⁿ:

a^{m – n} * aⁿ = a^{(m – n) + n} = a^m.

Мы получили делимое, значит, деление выполнено правильно.

Мы пришли к правилу, которое кратко можно сформулировать так:

При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого надо вычесть показатель делителя.

Примечание. Если m равно n, то в этом случае делитель и делимое равны и, значит, частное равно единице:

a^m : a^m = 1.

2. Деление одночленов. Пусть требуется выполнить деление:

10a⁵b³c : 4a³b.

Воспользуемся свойствами деления, приведенными в § 21.

Разделим делимое на 4. Для этого достаточно разделить на 4 коэффициент 10. Получим:

2,5a⁵b³c.

Разделим результат на a³. Для этого достаточно a⁵ разделить на a³. Получим:

2,5a²b³c.

Разделим результат на b. Для этого достаточно разделить b³ на b. Получим окончательно:

10a⁵b³c : 4a³b = 2,5a²b²c.

Умножив 4a³b на 2,5a²b²c, получим делимое.

Значит, деление произведено верно.

Конечно, нет необходимости записывать отдельно все промежуточные результаты. Все деления производятся последовательно и сразу записывается результат.

Пример 1. 18x⁶y²z³ : 6x²y²z = 3x⁴z².

Делим 18 на 6; в частном записываем 3.

Делим x⁶ на x²; в частном записываем x⁴.

Делим y² на y²; в частном получается единица, которую не пишем.

Делим z³ на z; в частном записываем z².

В итоге получили частное 3x4z².

(Проверить подстановкой: x = 1, y = 2, z = 2.)

Пример 2. Решить уравнение:

6ax³ : 3ax² = 4.

Произведя деление, получим:

2x = 4; x = 2.

Проверить ответ подстановкой в данное уравнение.

Итак, можем вывести такое правило:

Правило. Чтобы разделить одночлен на одночлен, достаточно:

1) разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя;

2) к полученному частному приписать множителями каждую букву делимого с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе.

Применяя это правило, надо иметь в виду, что:

1. Если какая-либо буква входит только в делимое, то она входит в частное с тем же показателем.
2. Если показатели какой-либо буквы в делимом и в делителе одинаковы, то эта буква не войдет в частное.

Деление одночленов нацело невыполнимо:

1. Если показатель какой-либо буквы в делителе больше показателя той же буквы в делимом.
2. Если делитель содержит букву, которой нет в делимом.