Деление одночленов

1. Деление степеней одного и того же основания. Пусть требуется разделить 25 на 22:

25 : 22 = 32 : 4 = 8 = 23.

Итак,

25 : 22 = 23.

Точно так же:

36 : 34 = 32.

Проверка. 32 * 34 = 36.

a5 : a3 = a2.

Проверка. a2 * a3 = a5.

Вообще при делении степеней одного и того же числа в частном должно получиться то же число с таким показателем, который в сумме с показателем делителя даст показатель делимого. Значит, показатель в частном должен быть равен разности показателей в делимом и в делителе.

a7 : a4 = a3.

Вообще

am : an = am – n.

Здесь m и n — натуральные числа, причем m > n.

Действительно, умножим частное am – n на делитель an:

am – n * an = a(m – n) + n = am.

Мы получили делимое, значит, деление выполнено правильно.

Мы пришли к правилу, которое кратко можно сформулировать так:

При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого надо вычесть показатель делителя.

Примечание. Если m равно n, то в этом случае делитель и делимое равны и, значит, частное равно единице:

am : am = 1.

2. Деление одночленов. Пусть требуется выполнить деление:

10a5b3c : 4a3b.

Воспользуемся свойствами деления, приведенными в § 21.

Разделим делимое на 4. Для этого достаточно разделить на 4 коэффициент 10. Получим:

2,5a5b3c.

Разделим результат на a3. Для этого достаточно a5 разделить на a3. Получим:

2,5a2b3c.

Разделим результат на b. Для этого достаточно разделить b3 на b. Получим окончательно:

10a5b3c : 4a3b = 2,5a2b2c.

Умножив 4a3b на 2,5a2b2c, получим делимое.

Значит, деление произведено верно.

Конечно, нет необходимости записывать отдельно все промежуточные результаты. Все деления производятся последовательно и сразу записывается результат.

Пример 1. 18x6y2z3 : 6x2y2z = 3x4z2.

Делим 18 на 6; в частном записываем 3.

Делим x6 на x2; в частном записываем x4.

Делим y2 на y2; в частном получается единица, которую не пишем.

Делим z3 на z; в частном записываем z2.

В итоге получили частное 3x4z2.

(Проверить подстановкой: x = 1, y = 2, z = 2.)

Пример 2. Решить уравнение:

6ax3 : 3ax2 = 4.

Произведя деление, получим:

2x = 4; x = 2.

Проверить ответ подстановкой в данное уравнение.

Итак, можем вывести такое правило:

Правило. Чтобы разделить одночлен на одночлен, достаточно:

1) разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя;

2) к полученному частному приписать множителями каждую букву делимого с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе.

Применяя это правило, надо иметь в виду, что:

  1. Если какая-либо буква входит только в делимое, то она входит в частное с тем же показателем.
  2. Если показатели какой-либо буквы в делимом и в делителе одинаковы, то эта буква не войдет в частное.

Деление одночленов нацело невыполнимо:

  1. Если показатель какой-либо буквы в делителе больше показателя той же буквы в делимом.
  2. Если делитель содержит букву, которой нет в делимом.