Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами

Покажем на примерах решение уравнений первой степени с буквенными коэффициентами.

Пример 1. Решить уравнение:

    a(x – 2) + 3x = a(x + 2) – 3,     (1)

где a — данное число.

1) Раскроем скобки:

    ax – 2a + 3x = ax + 2a – 3     (2)

2) Перенесем члены, содержащее неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:

3x = 2a – 3 + 2a

3) Приведем подобные члены:

    3x = 4a – 3     (3)

Разделив обе части уравнения (3) на 3, получим следующее решение:

         (4)

Если букве a придать какое-нибудь определенное значение, например положить a = 3, то уравнение (1) обратится в уравнение с числовыми коэффициентами:

3(x – 2) + 3x = 3(x + 2) – 3.

Теперь нет необходимости решать это последнее уравнение, так как достаточно заменить a в формуле (4) числом 3:

Пример 2. Решить уравнение:

    mx – (3 – m) = 2(x + 5).     (1)

1) Раскроем скобки:

    mx – 3 + m = 2x + 10.     (2)

2) Перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:

mx – 2x = 10 + 3 – m

3) Приведем подобные члены:

    (m – 2)x = 13 – m     (3)

Это последнее уравнение мы сможем решить, если коэффициент при x не равен нулю (то есть ):

         (4)

Если m = 2, то m – 2 = 0; на нуль делить нельзя, а потому нельзя применять формулу (4).

Уравнение (3) равносильно уравнению (1); но если в уравнении (3) подставить m = 2, то получится уравнение 0 * x = 11, которое не имеет корней.

Поэтому при m = 2 уравнение (3), а значит, и уравнение (1) не имеют корней.

Пример 3.

         (1)

При a = 0 правая часть уравнения теряет смысл. Говорят, что a = 0 не является допустимым значением для a. Поэтому будем считать, что a не равно нулю.

1) Умножив обе части уравнения на 2a, после сокращений получим:

a(x – 2) – 2a = 2(x – 4).

2) Раскроем скобки:

ax – 2a – 2a = 2x – 8.

3) Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части, а свободные члены — в другой:

ax – 2x = –8 + 2a + 2a.

4) Приведем подобные члены:

ax – 2x = 4a – 8,

или

    (a – 2)x = 4(a – 2).      (2)

Если коэффициент при x не равен нулю, получим:

x = 4.

Если a = 2, то уравнение (2) примет вид:

0 * x = 0

Очевидно, что это равенство будет верным при любом значении x, так как нуль, умноженный на любое число, даст в результате нуль.

Уравнение (1), равносильное уравнению (2), будет удовлетворяться всеми значениями x. Это можно проверить, подставив a = 2 в данное уравнение (1):

Последнее равенство верно при всех значениях x.

Окончательный ответ запишем так:

  1. x = 4, если .
  2. Уравнение удовлетворяет любое число, если a = 2 (напомним, что при a = 0 заданное уравнение теряет смысл, а потому значение a = 0 не рассматривается).