Линейная функция

В § 75 рассматривалась линейная зависимость между двумя величинами. Она выражалась равенством

y = kx + b, (1)

где k и b — определенные числа (k ≠ 0).

При заданных k и b значение y зависит от значения x. Следовательно, мы можем считать x аргументом, а y — его функцией. Функция такого вида называется линейной. Так как правая часть равенства (1) — многочлен первой степени относительно x, то линейной функции можно дать такое определение.

Определение. Многочлен первой степени относительно аргумента называется линейной функцией этого аргумента.

Так как при b = 0 функция имеет вид y = kx, то рассмотренная в предыдущем параграфе функция является частным случаем линейной функции.

В § 75 было показано построением, что графиком линейной функции является прямая. Докажем это.

Теорема. Графиком линейной функции является прямая.

Доказательство. Построим сначала прямую

    y = kx    (2)

(черт. 63; k = 2). Дадим абсциссе x произвольное значение x = a. Тогда ордината точки прямой (2) будет равна

    y = ka,    (3)

а ордината точки графика функции (1) будет равна:

    y = ka + b.    (4)

Так как абсциссу x мы взяли произвольно, то ордината любой точки графика функции y = kx + b равна значению b, сложенному с ординатой точки прямой y = kx, имеющей ту же абсциссу.

График функции y = kx + b

Установив это, легко построим график функции y = kx + b. Пусть b > 0 (на чертеже 63 b = 4). Дадим x произвольное значение, например x = 0. Тогда из (1) получим:

y = k * 0 + b;     y = b.

Получили одну точку графика функции y = kx + b. Построим ее и проведем через нее вторую прямую, параллельную прямой y = kx. Это вторая прямая и будет графиком функции y = kx + b. Действительно, ордината любой точки M этой прямой равна сумме MN = b и NA ординаты точки прямой y = kx с той же абсциссой. Значит, координаты любой точки второй прямой удовлетворяют уравнению (4).

С другой стороны, если координаты какой-либо точки удовлетворяют уравнению (4), то ордината y = kx плюс b. Значит, рассматриваемая точка лежит на второй прямой. Эта прямая, параллельная прямой y = kx, и отсекает на оси ординат отрезок, равный по величине b.

Если b < 0, то графиком функции y = kx + b будет прямая, лежащая ниже графика функции y = kx (из ординат точек прямой y = kx вычитается |b|).

Рассмотрим некоторые частные случаи функции

y = kx + b.

1) Пусть b = 0. Тогда y = kx. Мы знаем, что графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат O (0; 0).

2) Пусть k = 0, b ≠ 0. Тогда y = b.

Из этого равенства видно, что при любом значении x ордината точки графика функции y = b будут равна b. Это значит, что все точки графика находятся на одном и том же расстоянии |b| от оси абсцисс. При b > 0 график лежит выше, а при b < 0 ниже оси абсцисс. Другими словами, графиком функции y = b является прямая, параллельная оси абсцисс. Эта прямая проходит через точку (0; b). На чертеже 64 построены графики функций: y = 3 и y = –2.

Частные случаи линейной функции

3) Пусть k = 0 и b = 0, тогда при любом значении x ордината y = 0. Очевидно, что этому условию удовлетворяют только все точки оси абсцисс, и только они. Значит графиком функции y = 0 является ось абсцисс.