Использование букв в алгебре

В алгебре числа обозначают часто не цифрами, а  буквами. Приведем примеры.

Пример 1. Из арифметики известно, что сложение чисел обладает переместительным законом: сумма не изменяется от перестановки слагаемых.

Например:

5 + 7 = 7 + 5 = 12;
11 + 20 = 20 + 11 = 31 и т. д.

Как записать, что этот закон верен не только для чисел 5 и 7 или 11 и 20, а для любых чисел? Поступим так: обозначим одно из слагаемых буквой a, а другое — буквой b. Сумму этих чисел запишем, как обычно: a + b. Тогда переместительный закон сложения запишется так:

a + b = b + a.

Эта запись показывает, что, какие бы два числа a и b мы ни взяли, всегда получим в сумме одно и то же число, прибавим ли b к a или a к b.

Пример 2. Решим три сходные задачи: Брат старше сестры на 3 года. Сколько лет брату, если сестре: 1) 5 лет? 2) 11 лет? 3) Дробь года?

Получим следующие решения:

1) 5 + 3 = 8;    2) 11 + 3 = 14;
3) Сложение дроби

Вообще каков бы ни был возраст сестры, к нему надо прибавить 3 года, чтобы получить возраст брата. Сформулируем поэтому задачу так: Брат старше сестры на 3 года. Сколько лет брату, если сестре m лет?

Здесь буквой m обозначен возраст сестры. Значит, возраст брата будет равен (m + 3) годам.

В нашей первой задаче m = 5, во второй m = 11, в третьей m = Дробь.

Мы решили задачу в общем виде. Запись m + 3 дает общую формулу решения множества сходных, или, как говорят, однородных, задач, которые получим, заменяя m различными числами.

Пример 3. В задачниках по арифметике встречаются упражнения, например, такого вида:

x + 3 = 11.

Требуется найти x.

Здесь буквой x (икс) обозначено неизвестное число — слагаемое. Зная, что каждое из двух слагаемых равно их сумме минус другое слагаемое, найдем x:

x = 11 – 3, то есть x = 8.

Здесь буква x обозначает число, которое было сначала для нас неизвестным и которое мы определили, пользуясь правилами арифметики.

В первом примере буквы a и b обозначали любые числа. Говорят, что в этом случае буквы a и b могут принимать любые числовые значения.

Во втором примере буква m тоже может принимать различные значения, но уже не любые. Например, бессмысленно было бы дать букве m значение m = 500, так как до такого возраста люди не доживают.

Наконец, в третьем примере, для того чтобы равенство было верным, буква x может принимать только единственное значение 8.

Обычно в алгебре для обозначения чисел употребляются буквы латинского алфавита.

Математика: