Основные законы сложения и умножения

В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображенными цифрами или буквами (безразлично), нам придется во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.

Напомним их.

1. Переместительный закон сложения.

Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:

a + b = b + a,

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.

2. Сочетательный закон сложения.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Для суммы трех слагаемых имеем:

(a + b) + c = a + (b + c).

Например, сумму 5 + 7 + 11 можно вычислить двумя способами так:

(5 + 7) + 11 = 12 + 11 = 23,
5 + (7 + 11) = 5 + 18 = 23.

Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.

Так, в сумме a + b + c + d четырех слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:

a + b + c + d = (a + b + c) + d = (a + b) + (c + d) =
= a + (b + c) + d = a + b + (c + d) = (a + b) + c + d .

Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 16; мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:

1 + (3 + 5) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16,
1 + 3 + (5 + 7) = 1 + 3 + 12 = 16,
(1 + 3) + (5 + 7) = 4 + 12 = 16.

Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.

Пример 1.

89 + 67 + 11.

Поменяем местами два последних слагаемых, получим:

89 + 11 + 67.

Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.

Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и 11, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.

Пример 2.

Пример использования сочетательного закона при сложении дробных чисел.

Чтобы легче был сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:

.

Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:

.

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:

.

3. Переместительный закон умножения.

Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:

ab = ba,

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.

4. Сочетательный закон умножения.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Для произведения трех сомножителей имеем:

(ab)c = a(bc).

Например, произведение трех сомножителей 5 * 3 * 4 можно вычислить так:

(5 * 3) * 4 = 15 * 4 = 60

или так:

5 * (3 * 4) = 5 * 12 = 60 .

Для произведения четырех сомножителей имеем:

abcd = (abc)d = (ab)cd = a(bc)d = (ab)(cd) = a(bcd) = ab(cd).

Например, Умножение дробей; то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:

Применение сочетательного закона умножения

Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.

Пример 1.

25 * 37 * 4.

Умножить 25 и 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:

25 * 4 * 37.

Теперь умножение легко выполнить в уме.

Пример 2.

75 * 35 * 4 * 2.

Применим переместительный и сочетательный законы, запишем это выражение так:

75 * 4 * (35 * 2).

Все эти действия легко выполняются в уме.

5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Чтобы умножить сумму двух (или нескольких) чисел на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить:

(a + b)c = ac + bc.

Пример 1. Распределительный закон мы применяем, например, при умножении двузначных (и многозначных) чисел. Так, чтобы умножить 26 на 7, мы представляем 26 в виде суммы 20 + 6, умножаем 20 на 7, 6 на 7 и результаты складываем:

26 * 7 = (20 + 6) * 7 = 20 * 7 + 6 * 7 = 140 + 42 = 182.

Но иногда бывает выгоднее поступать наоборот: вместо того чтобы умножить каждое слагаемое на одно и то же число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают ее на данное число.

Пример 2.

87 * 28 + 13 * 28.

Представим выражение в другом виде:

(87 + 13) * 28.

Мы применили здесь распределительный закон, но только записанный в обратном порядке:

ac + bc = (a + b)c.

Теперь вычисление выполняется очень легко (устно).