Обратно пропорциональная зависимость

1. Определение обратно пропорциональной зависимости.

Наряду с прямо пропорциональными величинами в арифметике рассматривались также и величины обратно пропорциональные.

Приведем примеры.

1) Длины основания и высоты прямоугольника при постоянной площади.

Пусть требуется выделить для огорода прямоугольный участок площадью в 600 кв. м.

Мы можем произвольно установить, например, длину участка. Но тогда ширина участка будет зависеть от того, какую длину мы выбрали. Различные (возможные) значения длины и ширины приведены в таблице.

Вообще, если обозначить длину участка через x, а ширину — через y, то зависимость между ними можно выразить формулой:

xy = 600.

Выразив y через x, получим:

Давая x произвольные значения, будем получать соответствующие значения y.

2) Время и скорость равномерного движения при определенном расстоянии.

Пусть расстояние между двумя городами равно 200 км. Чем больше будет скорость движения, тем меньше времени потребуется, чтобы проехать данное расстояние. Это видно из следующей таблицы:


Вообще, если обозначить скорость через x, а время движения — через y, то зависимость между ними выразится формулой:

xy = 200.

Определение. Зависимость между двумя величинами x и y, выраженная равенством xy = k, где k – определенное число (не равное нулю), называется обратно пропорциональной зависимостью.

Число k и здесь называется коэффициентом пропорциональности.

Так же, как и в случае прямой пропорциональности, в равенстве xy = k величины x и y в общем случае могут принимать положительные и отрицательные значения.

Но во всех случаях обратной пропорциональности ни одна из величин не может быть равной нулю. В самом деле, если хоть одна из величин x или y будет равна нулю, то в равенстве xy = k левая часть будет равна нулю, а правая — некоторому числу, не равному нулю (по определению), то есть получится неверное равенство.

2. График обратно пропорциональной зависимости. Построим график зависимости xy = 9.

Выразим y через x, получим:

Будем давать x произвольные (допустимые) значения и вычислим соответствующие значения y. Получим таблицу:

Построим соответствующие точки (черт. 28).

Если будем брать значения x через меньшие промежутки, то и точки расположатся теснее.

При всевозможных значениях x соответствующие точки расположатся на двух ветвях графика, симметричных относительно начала координат и проходящих в I и III четвертях координатной плоскости (черт. 29).

Итак, мы видим, что графиком обратной пропорциональности является кривая линия. Эта линия состоит из двух ветвей.

Одна ветвь получится при положительных, другая — при отрицательных значениях x.

График обратно пропорциональной зависимости называется гиперболой.

Чтобы получить более точный график, надо строить возможно больше точек.

С достаточно большой точностью гиперболу можно начертить, пользуясь, например, лекалами.


На чертеже 30 построен график обратно пропорциональной зависимости с отрицательным коэффициентом. Составим, например, такую таблицу:

Получим гиперболу, ветви которой расположены во II и IV четвертях.