Понятие о разложении на множители

Пусть требуется найти числовую величину выражения

ab + ac – ad

при

a = 37, b = 26, c = 17 и d = 23.

Подставив заданные значения букв, найдем:

37 * 26 + 37 *17 – 37 * 23 = 962 + 629 – 851 = 740.

Но можно найти числовую величину этого выражения гораздо быстрее и легче, если преобразовать его.

На основании распределительного закона можем записать:

ab + ac – ad = a(b + c – d).

Найдем числовую величину полученного выражения, тождественного данному:

37 * (26 + 17 – 23) = 37 * 20 = 740.

Все вычисления легко производятся в уме.

Итак, в этом случае оказалось выгодным данное выражение (алгебраическую сумму) представить в виде произведения двух сомножителей – одночлена и многочлена.

Разложить многочлен на множители — значит тождественно преобразовать его в произведение двух или нескольких сомножителей — многочленов.

В частности, некоторые из сомножителей могут оказаться одночленами.

Разложение на множители алгебраических выражений во многом сходно с разложением целых чисел на простые множители в арифметике. Там мы прибегали к разложению на множители, когда нужно было сократить дробь или привести несколько дробей к общему знаменателю (при сложении и вычитании дробей).

Такое же применение имеет в алгебре разложение на множители алгебраических выражений. В следующей главе рассматриваются алгебраические дроби и действия с ними. Сокращение дробей, нахождение наиболее простого общего знаменателя при сложении и вычитании дробей значительно облегчают тождественные преобразования и вычисления. А для этого требуется предварительно представить (когда это возможно) числитель и знаменатель в виде произведения, то есть разложить их на множители.

Но в алгебре разложение на множители применяется не только при действиях с дробями.

Выше уже приведен пример того, как разложение на множители облегчило нахождение числовой величины алгебраического выражения.
Разложение на множители применяется также при решении некоторых уравнений и в других разделах алгебры.

Приведем наиболее употребительные и наиболее простые приемы разложения многочленов на множители.