Извлечение квадратного корня из целых чисел

В настоящем параграфе мы выведем правило извлечения квадратного корня из целых чисел. В случае, если данное число не является квадратом целого числа, по этому правилу можно найти приближенный корень с недостатком с точностью до 1.

Извлечение корня из целого числа, меньшего 10000, но большего 100. Пусть надо найти . Так как число меньше 10000, то корень из него меньше 100. С другой стороны, данное число больше 100, значит корень из него больше 10. Но всякое число, которое больше 10 (или равно 10), но меньше 100, имеет две цифры, значит, искомый корень есть сумма:

десятки + единицы,

и поэтому квадрат его должен равняться сумме:

(десятки)2 + 2 * (дес.) * (един.) + (единицы)2.

Сумма эта должна быть наибольшим квадратом, заключающимся в 4082. Так как (десятки)2 составляют сотни, то квадрат десятков надо искать в сотнях данного числа. Сотен в данном числе 40 (мы находим их число, отделив запятой две цифры справа). Но в 40 заключается несколько целых квадратов: 36, 25, 16, … и др. Возьмем из них наибольший: 36 и допустим, что квадрат десятков корня будет равен именно этому наибольшему квадрату. Тогда число десятков в корне должно быть 6. Проверим теперь, что всегда число десятков корня равно наибольшему целому корню из числа сотен подкоренного числа. Действительно, в нашем примере число десятков корня не может быть больше 6, так как (7 дес.)2 = 49 сотням, что превосходит 4082. Но оно не может быть и меньше 6, так как 5 дес. (с единицами) меньше 6 дес., а между тем (6 дес.)2 = 36 сотням, что меньше 4082. А так как мы ищем наибольший целый корень, то не следует брать для корня 5 дес., когда и 6 дес. Оказывается мало. Итак, мы нашли число десятков корня, именно 6. Пишем эту цифру направо от знака равенства, запомнив, что она означает десятки корня. Возведя ее в квадрат, получим 36 сотен. Вычитаем эти 36 сотен из 40 сотен подкоренного числа и к остатку приписываем число 82:


В числе 482 должна содержаться сумма:

2 * (6 дес.) * (един.) + (единицы)2.

Произведение (6 дес.) * (един.) должно составлять десятки, поэтому удвоенное произведение десятков на единицы надо искать в десятках остатка, то есть в 48 (мы получим число их, отделив в остатке 482 одну цифру справа). Удвоенные десятки корня составляют 12. Значит, если 12 умножим на единицы корня (которые пока неизвестны), то мы должны получить число, содержащееся в 48. Поэтому разделим 48 на 12. Для этого влево от остатка проводим вертикальную черту и за ней (отступив от черты на одно место влево для цели, которая сейчас обнаружится) напишем удвоенную первую цифру корня, то есть 12, и на нее разделим 48.

В частном получим 4. Однако заранее нельзя ручаться, что цифру 4 можно принять за единицы корня, так как мы сейчас разделили на 12 все число десятков остатка, тогда как некоторая часть из низ может и не принадлежать удвоенному произведению десятков на единицы, а входить в состав квадрата единиц. Поэтому цифра 4 может оказаться велика. Надо ее испытать. Она, очевидно, будет годиться в том случае, если сумма 2 * (6 дес.) * 4 + 42 окажется не больше остатка 482. Сумму эту мы можем вычислить сразу таким простым приемом: за вертикальной чертой к удвоенной цифре корня (к 12) приписываем справа цифру 4 (поэтому мы и отступили от черты на одно место) и на нее же умножим полученное число (124 на 4):


Действительно, проводя это умножение, мы умножаем 4 на 4, значит, находим квадрат единицы корня; затем мы умножаем 12 десятков на 4, значит, находим удвоенное произведение десятков корня на единицы. В результате получаем сразу сумму того и другого. Полученное произведение оказалось 496, что больше остатка 482, значит, цифра 4 велика. Тогда испытаем таким же образом следующую меньшую цифру, 3. Для этого сотрем цифру 4 и произведение 496, вместо цифры 4 подставим 3 и умножим 123 на 3:

Произведение 369 оказалось меньше остатка 482; значит, цифра 3 годится (если бы случилось, что и эта цифра велика, тогда надо было бы испытать следующую меньшую цифру, 2). Напишем цифру 3 в корне направо от цифры десятков. Последний остаток 113 показывает избыток данного числа над наибольшим целым квадратом, заключающимся в нем. Для проверки возведем в квадрат 63 и к результату прибавим 113:

Так как в сумме получилось данное число 4082, то действие сделано верно.

Примеры.


В четвертом примере при делении 47 десятков остатка на 4 мы получаем в частном 11. Но так как цифра единиц корня не может быть двузначным числом 11 или 10, то надо испытать цифру 9.

В пятом примере после вычитания из первой грани квадрата 8 остаток оказывается равным 0 и следующая грань тоже состоит из нулей. Это показывает, что искомый корень состоит только из 8 десятков, и потому на место единиц надо поставить нуль.

Извлечение корня из целого числа, большего 10000. Пусть требуется найти . Так как подкоренное число превосходит 10000, то корень из него больше и, следовательно, он состоит из трех цифр или более. Из скольких бы цифр он ни состоял, мы можем его всегда рассматривать как сумму только десятков и единиц. Если, например, корень оказался бы 482, то мы можем его считать за сумму 48 десятков + 2 единицы. Тогда квадрат корня будет состоять по-прежнему из трех слагаемых:

(десятки)2 + 2 * (дес.) * (един.) + (единицы)2.

Теперь мы можем рассуждать совершенно так же, как и при нахождении (в предыдущем примере). Разница будет только та, что для нахождения десятков корня из 4082 мы должны были извлечь корень из 40, и это можно было сделать по таблице умножения; теперь же для получения десятков нам придется извлечь корень из 357, что по таблице умножения выполнить нельзя. Но мы можем найти тем приемом, который был описан в предыдущем примере, так как число 357 < 10000:


Наибольший целый корень из 357 равен 18. Значит, в должно быть 18 десятков.

Чтобы найти единицы, надо из 3'57'82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести две последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадрата 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 десятков из 3'57'82 достаточно к 33 приписать справа цифры 8 и 2.

Далее поступаем так, как мы поступали при нахождении , а именно: слева от остатка 3382 проводим вертикальную черту и за нею пишем (отступив от черты на одно место) удвоенное число найденных десятков корня, то есть 36 (дважды 18). В остатке отделяем одну цифру справа и делим число десятков остатка, то есть 338, на 36. В частном получаем 9. Эту цифру испытываем, для чего ее приписываем к 36 справа и на нее же умножаем. Произведение оказалось 3321, что меньше остатка. Значит, цифра 9 годится, пишем ее в корне.

Вообще, чтобы извлечь квадратный корень из какого угодно целого числа, надо сначала извлечь корень из числа его сотен; если это число больше 100, то придется искать корень из числа сотен этих сотен, то есть из десятков тысяч данного числа; если и это число больше 10000, придется извлекать корень из числа сотен десятков тысяч, то есть из миллионов данного числа, и т. д.


В последнем примере, найдя первую цифру и вычтя квадрат ее, получаем в остатке 0. Сносим следующие две цифры, 5 и 1. Отделив десятки, мы получаем 5 десятков, тогда как найденная удвоенная цифра корня есть 6. Значит, от деления 5 на 6 мы получаем 0. Ставим в корне 0 на втором месте и к остатку сносим следующие две цифры; получаем 5110. Далее продолжаем как обыкновенно.

Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его от правой руки к левой на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получающегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.

Испытание это производится так: за вертикальной чертой (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

Следующие цифры корня находятся с помощью того же приема.

Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, то есть меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.