Возрастание и убывание квадратного трехчлена

Рассматривая параболу y = x2, мы видим, что при положительных значениях x линия «поднимается вверх», а при отрицательных «опускается вниз». Из чертежа 78 видно, что если взять два положительных значения аргумента x1 и x2, то большему значению аргумента x соответствует большее значение функции y: если x1 < x2, то и y1 < y2.


Возьмем теперь значения x1 и x2 отрицательными. Тогда, как показывает чертеж 79, если x1 < x2, то y1 > y2.

Значит, большему значению аргумента x соответствует меньшее значение функции y.

В общем случае можно рассуждать так: пусть x1 и x2 — два положительных числа, причем x1 < x2.

Вычислим соответствующие значения функции:

y1 = x12 и y2 = x22.

Чтобы узнать, какое из чисел, y1 или y2, больше, составим их разность:

     y2 – y1 = x22 – x12 = (x2 + x1)(x2 – x1).    (1)

Сумма x2 + x1 положительных чисел положительна и разность x2 – x1 положительна, так как мы взяли x2 > x1. Первая часть равенства (1) есть произведение положительных чисел, а потому положительна. Это значит, что разность y2 – y1 положительна, но тогда y1 < y2. Значит, при x1 < x2 действительно y1 < y2.

Определение. Если из двух различных значений аргумента большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то данная функция называется возрастающей.

Следовательно, при положительных значениях аргумента x функция y = x2 возрастает.

Возьмем теперь два отрицательных значения x1 и x2 так, что x1 < x2. Мы уже составили разность y2 – y1 и представили ее в виде произведения:

y2 – y1 = (x2 + x1)(x2 – x1).

Теперь (в отличие от предыдущего случая) сумма x2 + x1 отрицательных чисел будет отрицательна, а потому разность окажется отрицательной, то есть при x1 < x2 имеем y1 > y2.

Определение. Если из двух различных значений аргумента большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то данная функция называется убывающей.
Следовательно, при отрицательных значениях аргумента функция y = x2 убывает.

То же самое можно сказать про возрастание и убывание функции y = x2, где a — положительное число.

При x < 0 функции y = ax2 убывает, при x > 0 возрастает, при x = 0 имеет наименьшее значение y = 0.

Очевидно, что при отрицательном коэффициенте a имеет место противоположное заключение, а именно:
при x < 0 функция y = ax2 возрастает, при x > 0 убывает, при x = 0 имеет наибольшее значение y = 0.

Формула преобразования квадратного трехчлена

позволяет ответить на вопрос о возрастании и убывании квадратного трехчлена общего вида y = ax2 + bx + c.

Вершина параболы y = ax2 оказалось перенесенной в точку ; но при переносе параболы направление ее вогнутости (вверх или вниз) не изменяется. Значит, если a > 0, то при x < трехчлен убывает, при x > возрастает, при x =имеет наименьшее значение, равное .

Если a < 0, то при x < трехчлен возрастает, при x > убывает, при x = имеет наибольшее значение, равное .

Задача. Забором данной длины l = 100 м требуется огородить прямоугольный участок, прилегающий к стене. Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть x и y — длина и ширина участка (черт. 80); тогда S = xy, где S — площадь участка. Но по условию длина забора равна 2x + y = 100, откуда y = 100 – 2x и, значит,

S = x(100 – 2x) = 100x – 2x2.

Мы видим, что площадь S выражается квадратным трехчленом, в котором a = –2, b = 100, c = 0. Этот трехчлен имеет наибольшее значение при x = = 25, тогда y = 100 – 2x = 50.

Итак, мы нашли стороны участка, имеющего наибольшую площадь: x = 25, y = 50.

Заметим, что можно было бы и не пользоваться готовой формулой, а применить к трехчлену преобразование выделения полного квадрата:

S = –2(x2 – 50x) = –2[(x2 – 50x + 625) – 625] = –2(x – 25)2 + 1250.

Отсюда ясно, что наибольшее значение S есть 1250 при x = 25.