Способ группировки

Пример 1. Разложить на множители выражение:

    c(a – b) + d(a – b).    (1)

Вынося общий множитель a – b, получим:

    (a – b)(c + d)    (2)

Между тем если бы выражение (1) было дано в виде

    ac – bc + ad – bd,    (3)

то, пытаясь применить изложенный в § 55 способ разложения, мы оказались бы в затруднении, так как все члены общего множителя не имеют. Только разбив члены на две группы

(ac – bc) + (ad – bd)

и вынеся в первой группе общий множитель c, а во второй общий множитель d

c(a – b) + d(a – b)

,
получим выражение (1), в котором ясно виден общий множитель a – b.
Заметим, что в выражении (3) мы могли бы сгруппировать члены и так:

(ac + ad) – (bc + bd).

По вынесении общих множителей в каждой группе получим:

a(c + d) – b(c + d).

Здесь общим множителем является c + d. Вынося его, получим:

(c + d)(a – b).

Это выражение отличается от (2) только порядком множителей.

Такой способ разложения на множители называется способом группировки. Приведем еще примеры разложения на множители этим способом.

Пример 2. 2ac + 3b – bc – 6a.

Общего множителя все члены данного многочлена не имеют. Следовательно, первый способ не применим. Попробуем применить способ группировки. Если сгруппировать члены по два в том порядке, как они написаны, то получим:

(2ac + 3b) – (bc + 6a).

Оказалось, что в обеих группах нет общих множителей, а потому и общего двучленного множителя мы не получим. Проба оказалась неудачной. Попробуем сгруппировать члены по-другому, именно: первый с третьим и второй с четвертым:

(2ac – bc) + (3b – 6a).

По вынесении за скобки общих множителей получим:

c(2a – b) + 3(b – 2a).

Как видим, двучлены 2a – b и b – 2a отличаются только знаками. Чтобы сделать их одинаковыми, достаточно переменить знаки у каждого члена во второй скобке, а чтобы результат не изменился, надо переменить одновременно знак перед скобкой. Получим:

c(2a – b) – 3(2a – b).

Теперь легко находим, что данное выражение равно (2a – b)(c – 3).
Если сгруппировать первый член с четвертым, а второй с третьим, то получим:

(2ac – 6a) + (3b – bc) = 2a(c – 3) + b(3 – c) =
= 2a(c – 3) – b(c – 3) = (c – 3)(2a – b)
,

то есть то же, что и раньше.

При некотором навыке можно избежать перемены знака во второй скобке, ставя сразу перед скобкой знак минус. Именно, заметив, что в первой группе первым членом в скобке будет c, члены второй группы располагают так, чтобы первым членом был так же член, содержащий c. Тогда порядок преобразований был бы такой:

(2ac – 6a) + (3b – bc) = 2a(c – 3) + b(3 – c) =
= 2a(c – 3) – b(c – 3) = (c – 3)(2a – b)
.

Пример 3. Разложить на множители:

ab – a – b + 1.

Учитывая сделанное выше замечание, сразу запишем:

(ab – a) – (b – 1) = a(b – 1) – (b – 1) = (b – 1)(a – 1).