Функция y = x³ и ее график

Составим таблицу значений функции y = x3:

Мы видим, что при x > 0 и y > 0 (куб положительного числа положителен), а при x < 0 и y < 0 (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента x противоположным значением –x, тогда и функция примет противоположное значение; так как если y = x3, то

(–x)3 = –x3 = –y.

Значит, каждой точке (x; y) графика соответствует точка (–x; –y) того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.

Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.

График функции y = x3 изображен на чертеже 81. Эта линия называется кубической параболой.

В I четверти кубическая парабола (при x > 0) «круто» поднимается вверх (значение y «быстро» возрастают при возрастании x, см. таблицу), при малых значениях x линия «тесно» подходит к оси абсцисс (при «малых» значениях x значение y «весьма мало», см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III четверти) симметрична правой относительно начала координат.

Аккуратно вычерченный график может служить средством приближенного возведения чисел в куб. Так, например, положив x = 1,6, найдем по графику y ≈ 4,1.

Для приближенного вычисления кубов составлены специальные таблицы.

Такая таблица имеется и в пособии В. М. Брадиса «Четырехзначные математические таблицы».

Эта таблица содержит приближенные значения кубов чисел от 1 до 10, округленные до 4-х значащих цифр.

Устройство таблицы кубов и правила пользования ею такие же, как и таблицы квадратов. Однако при увеличении (или уменьшении) числа в 10, 100 и т. д. Раз его куб увеличивается (или уменьшается) в 1000, 1000000 и т. д. раз. Значит, при пользовании таблицей кубов надо иметь в виду следующее правило переноса запятой:

Если в числе перенести запятую на несколько цифр, то в кубе этого числа надо перенести запятую в ту же сторону на утроенное количество цифр.

Поясним сказанное примерами:

1) Вычислить 2,2353. По таблице находим: 2,233 ≈ 11,09; прибавляем к последней цифре поправку 8 на последний знак: 2,2353 ≈ 11,17.

2) Вычислить (–179,8)3. Так как (–a)3 = –a3, то находим (179,8)3.

По таблице найдем 1,7983 ≈ 5,813, перенеся запятую, получим 179,83 ≈ 5813000.

Значит, (–179,8)3 ≈ –5813000.

Приближенные формулы. Если в тождестве

(1 ± α)³ ≈ 1 ± 3α ± 3α² ± α³

число α мало по сравнению с единицей, то отбросив члены с α² и α³, получим приближенные формулы:

(1 ± α)³ ≈ 1 ± 3α.

По этим формулам легко найти приближенные кубы чисел, близких к единице например:

1,02³ ≈ 1 + 3 * 0,02 = 1,06; точный куб: 1,061208;
1,03³ ≈ 1 + 3 * 0,03 = 1,09; точный куб: 1,092727;
0,98³ ≈ 1 – 3 * 0,02 = 0,94; точный куб: 0,941192;
0,97³ ≈ 1 – 3 * 0,03 = 0,91; точный куб: 0,912673.

Возведение чисел в куб на счетной линейке. Для возведения чисел в куб на корпусе линейки имеется шкала кубов K. Шкала кубов состоит из трех частей: левой, средней и правой (см. черт. 82); каждая из этих частей представляет собой основную шкалу D, но уменьшенную в три раза.

Значение возводимого в куб числа отмечаем визиром на основной шкале D, а результат читаем на шкале кубов K.

Например, 2³ = 8 (см. черт. 39).

Несколько примеров возведения чисел в куб приведено в следующей таблице. Для сравнения даны значения кубов тех же чисел, вычисленные по четырехзначным таблицам.