Примеры графического решения уравнений и систем уравнений

Пример 1. Решить уравнение:

x3 + x – 2 = 0.

Это уравнение кубическое, так как содержит неизвестное x в кубе. Такие уравнения в школьном курсе алгебры по формулам не решаются. Решим данное уравнение графически. Запишем уравнение так:

x3 = –x + 2.

Теперь построим графики функции y = x3 и y = –x + 2. Это будут кубическая парабола и прямая. Из чертежа видно, что обе линии пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 1. Итак, уравнение имеет один корень x = 1 (черт. 84).

Кубическая парабола и прямая
Пример 2. Решить уравнение:

x3 – x2 – 2 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде

x3 = x2 + 2.

Построим (на миллиметровой бумаге) параболы: кубическую y = x3 и квадратную y = x2 + 2. Из чертежа 85 видим, что эти линии пересекаются в одной точке M. Опустив перпендикуляр из точки M на ось абсцисс, найдем приближенно корень данного уравнения: x ≈ 1,7.

Кубическая и квадратная параболы
В § 81 был показан графический способ решения системы уравнений первой степени с двумя неизвестными. Строились прямые — графики данных уравнений. Если эти прямые пересекались, то координаты точки пересечения и являлись решением системы.

Совершенно так же решаются графически и системы уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Строится график каждого из уравнений системы. Если эти графики имеют одну или несколько общих точек, то координаты каждой из этих точек удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы. Приведем пример.

Пример 3.

Система уравнений

Графиком первого уравнения является прямая, проходящая через точки (7; 0) и (0; 7). Графиком второго уравнения является гипербола (см. § 76).

Пересечение прямой и гиперболы
На чертеже 86 видно, что прямая пересекает гиперболу в двух точках. Измерив их расстояние от осей, найдем решения системы:

x1 = 1; y1 = 6     и      x2 = 6; y2 = 1.

Нетрудно проверить подстановкой, что мы получили два решения данной системы.