Квадратный корень из произведения, дроби и степени

В настоящем параграфе мы будем рассматривать арифметические квадратные корни.

В случае буквенного подкоренного выражения будем считать, что буквы, содержащиеся под знаком корня, обозначают неотрицательные числа.

1. Корень из произведения.

√2601 = 51, так как (51)2 = 2601.

С другой стороны, заметим, что число 2601 есть произведение двух сомножителей, из которых корень извлекается легко:

2601 = 9 * 289.

Извлечем квадратный корень из каждого сомножителя и перемножим эти корни:

√9 * √289 = 3 * 17 = 51.

Мы получили одинаковые результаты и тогда, когда извлекали корень из произведения, стоящего под корнем, и тогда, когда извлекали корень из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножали.

Во многих случаях вторым способом найти результат легче, так как приходится извлекать корень из меньших чисел.

Теорема 1. Чтобы извлечь квадратный корень из произведения, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

Докажем теорему для трех сомножителей, то есть докажем справедливость равенства:

(1)

Доказательство проведем непосредственно проверкой, на основании определения арифметического корня.

Допустим, что нам надо доказать равенство:

A = B

(A и B — неотрицательные числа). По определению квадратного корня, это значит, что

B2 = A.

Поэтому достаточно возвести в квадрат правую часть доказываемого равенства и убедиться, что получится подкоренное выражение левой части.

Применим это рассуждение к доказательству равенства (1). Возведем в квадрат правую часть; но в правой части находится произведение, а чтобы возвести в квадрат произведение, достаточно возвести в квадрат каждый сомножитель и результаты перемножить (см. § 40):

(√a √b √c)2 = (√a)2 (√b)2 (√c)2 = abc.

Получилось подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство (1) верно.

Мы доказали теорему для трех сомножителей. Но рассуждения останутся теми же, если под корнем будет 4 и т. д. сомножителей. Теорема верна для любого числа сомножителей.

Пример.

.

Результат легко найден устно.

2. Корень из дроби.

Докажем теорему.

Теорема 2. Чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Требуется доказать справедливость равенства:

(2)

Для доказательства применим способ, которым была доказана предыдущая теорема.

Возведем правую часть в квадрат. Будем иметь:

.

Получили подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство (2) верно.

Итак, мы доказали следующие тождества:

и сформулировали соответствующие правила извлечения квадратного корня из произведения и частного. Иногда при выполнении преобразований приходится применять эти тождества, читая их «справа налево».

Переставив левую и правую части, перепишем доказанные тождества следующим образом:

Чтобы перемножить корни, можно перемножить подкоренные выражения и из произведения извлечь корень.

Чтобы разделить корни, можно разделить подкоренные выражения и из частного извлечь корень.

3. Корень из степени.

В обоих примерах мы в результате получали основание подкоренного выражения в степени, равной частному от деления показателя степени на 2.

Докажем это положение в общем виде.

Теорема 3. Если m — четное число, то

(3)

Кратко говорят так: чтобы извлечь квадратный корень из степени, достаточно разделить на 2 показатель степени (не меняя основания).

Для доказательства применим тот способ проверки, которым были доказаны теоремы 1 и 2.

Так как m — четное число (по условию), то - целое число. Возведем в квадрат правую часть равенства (3), для чего (см. § 40) умножим на 2 показатель степени, не меняя основания

.

Получили подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство (3) верно.

Пример. Вычислить .
На вычисление 76 пришлось бы потратить значительное время и труд. Теорема 3 позволяет найти результат устно.

.