Разложение многочленов на множители

При разложении на множители заданного выражения прежде всего следует посмотреть, не имеют ли все его слагаемые общего множителя. Вынесение за скобки всех общих множителей является операцией, которую надо выполнить в первую очередь.

После этого следует рассмотреть многочлен, заключенный в скобках. Может случиться, что он в свою очередь допускает разложение каким-либо из способов, рассмотренных в § 56 и 57.

В таком случае это разложение и нужно выполнить.

Задача. Доказать, что разность между кубом любого целого числа и самим числом всегда делится на 6.

Обозначим произвольное число через n.

Надо доказать, что значение выражения n3 – n при любом целом значении n делится на 6.

Разложим полученное значение на множители. Прежде всего вынесем за скобку общий множитель n. Получим:

n3 – n = n(n2 – 1).

Видим, что выражение в скобках является разностью квадратов. Применив формулу, получим:

n3 – n = n(n – 1)(n + 1).

Расположим числа в порядке возрастания:

n3 – n =(n – 1)n(n + 1).

Это равенство показывает, что выражение n3 – n представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Но из трех последовательных чисел одно непременно делится на 3 и по крайней мере одно делится на 2. Значит, n3 – n делится на 2 и на 3. Из арифметики мы знаем, что в таком случае оно делится и на 6.