Алгебраические выражения

Решим задачу.

Ученик купил n тетрадей по 2 коп. за тетрадь и учебник за 8 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?

Чтобы узнать стоимость всех тетрадей, надо цену одной тетради умножить на число тетрадей. Значит, стоимость тетрадей будет равна Два умножить на n копейкам.

Стоимость же всей покупки будет равна

копейкам.

Заметим, что перед множителем, выраженным буквой, знак умножения принято опускать, он просто подразумевается. Поэтому предыдущую запись можно представить в таком виде:

2n + 8.

Получили формулу решения задачи. Она показывает, что для решения задачи надо цену тетради умножить на число купленных тетрадей и к произведению прибавить стоимость учебника.

Вместо слова «формула» для подобных записей употребляют также название «алгебраическое выражение».

Алгебраическим выражением называется запись, состоящая из чисел, обозначенных цифрами и буквами и соединенных знаками действий.

Для краткости вместо «алгебраическое выражение» говорят иногда просто «выражение».

Приведем еще примеры алгебраических выражений:

;    3mn;      9(p + q);      a;      ;      4,5.

Из этих примеров видим, что алгебраическое выражение может состоять только из одной буквы, а может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами (два последних примера). В этом последнем случае выражение называется также арифметическим выражением.

Дадим в полученном нами алгебраическом выражении 2n + 8 букве n значение 5 (значит, ученик купил 5 тетрадей). Подставим вместо n число 5, получим:

,

что равно 18 (то есть 18 коп.).

Число 18 является значением данного алгебраического выражения при n = 5.

Значением алгебраического выражения называется число, которое получится, если в это выражение подставить вместо букв данные их значения и произвести над числами указанные действия.

Например, мы можем сказать: значение выражения 2n + 8 при n = 2 равно 12 (12 коп.).

Значение этого же выражения при n = 3 равно 14 (14 коп.) и т. д.

Мы видим, что значение алгебраического выражения зависит от того, какие значения мы дадим входящим в него буквам. Правда, иногда бывает, что значение выражения не зависит от значений входящих в него букв. Например, выражение 2(a + 3) – 2a равно 6 при любых значениях a.

Найдем для примера числовые значения выражения 3a + 2b при различных значениях букв a и b.

Пусть a = 4 и b = 2.

Подставим в данное выражение вместо a число 4, а вместо b число 2 и вычислим полученное выражение:

Итак, при a = 4 и b = 2 значение выражения 3a + 2b равно 16.

Таким же образом найдем, что при a = 5 и b = 7 значение выражения равно 29, при a = 0 и b = 1 оно равно 2 и т. д.

Результаты вычислений можно записать в виде таблицы, которая наглядно покажет, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения значений входящих в него букв.

Составим таблицу из трех строк. В первой строке будем записывать значения a, во второй — значения b и в третьей — значения выражения 3a + 2b. Получим такую таблицу:

a 4 5 0 3 3
b 2 7 1 5 1
3a + 2b 16 29 2 19 11

В § 1, говоря о переместительном законе сложения, мы писали, что два выражения a + b и b + a равны:

a + b = b + a.

Такая запись называется равенством.

Два алгебраических выражения, соединенных знаком «равно», образуют равенство.

Как известно из арифметики, кроме знака равенства, употребляются еще знаки неравенства:

> – этот знак означает больше,
< – этот знак означает меньше.

Например:

5 > 2 – читается: пять больше двух;
3 < 7 – читается: три меньше семи.

Следует запомнить, что знак неравенства всегда обращен острием к меньшему числу.

Два выражения, соединенные знаком «больше» или «меньше», образуют неравенство.

Пример. Измерив отрезок, получили, что его длина d больше 5 см, но меньше 6 см. Результат измерения можно записать в виде двойного неравенства:

5 см < d < 6 см.

Математика: