Возведение в степень

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5;
.

В алгебре умножение равных между собой чисел рассматривается как новое действие, которое называется возведением в степень.

Если, например, число 5 умножается само на себя, то произведение 5 * 5 = 25 называется второй степенью числа 5; произведение 5 * 5 * 5 = 125 называется третьей степенью числа 5; число 5 * 5 * 5 * 5 = 625 — четвертой степенью этого числа и т. д. При этом говорят, что число 5 возводится во вторую, в третью, в четвертую и т. д. степень.

Определение. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень.

При этом:

  1. Произведение n сомножителей, равных a, называется n-й степенью числа a.
  2. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени.
  3. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени.

Так, в рассмотренном примере основанием степени был взято число 5; показателем степени в первом случае было число 2, во втором — число 3, а в третьем — число 4.

Степень коротко записывают так: пишут основание степени и справа от него вверху (более мелко) показатель степени:

52 = 25, 53 = 125, 54 = 625 и т. д.

В общем случае

Приведем примеры, поясняющие все сказанное.

1. Примем за основание число 3 и будем возводить его в различные степени:

32 = 3 * 3 = 9; 33 = 3 * 3 * 3 = 27; 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81;
35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 и т. д.

2. Примем за основание какое-нибудь отрицательное число, например –2, тогда получим:
(–2)2 = (–2) * (–2) = 4;
(–2)3 = (–2) * (–2) * (–2) = –8;
(–2)4 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = 16;
(–2)5 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = –32 и т. д.
3. Приняв за основание дробное число, например, получим:

4. Приняв за основание дробное отрицательное число, например, получим:

Следует запомнить, что нуль в любой степени равен нулю, единица в любой степени равна 1, так как

Принято вторую степень числа называть квадратом, а третью степень — кубом этого числа.

Это объясняется тем, что площадь квадрата со стороной a выражается второй степенью числа a, то есть a * a = a2 (квадратных единиц), а объем куба с ребром, равным a, выражается третьей степенью этого числа: a * a * a = a3 (кубических единиц). Возведение числа во вторую и третью степень короче называют возведением в квадрат и в куб.

По смыслу определения действия возведения в степень показатель степени может равняться двум, трем, четырем и т. д., то есть может быть только натуральным числом, большим единицы.

Принято считать, что первая степень любого числа есть само это число, например:

51 = 5; 8,351 = 8,35; (–3)1 = –3.

Заметим, однако, что показатель 1 обычно не пишется.

Итак, если число записано без показателя степени, то подразумевается, что этот показатель равен 1.

В арифметике показателями степени пользуются для краткой записи разложения целых чисел на множители в том случае, когда среди простых множителей данного числа имеются равные между собой. Разложив, например, на простые множители число 60984, получим:

60984 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7 * 11 * 11.

Кратко, пользуясь показателями степени, это число можно записать так:

60984 = 23 * 32 * 7 * 112.

Полезно запомнить запись единиц различных разрядов в виде степеней числа 10:

100 = 102; 1000 = 103; 10000 = 104; 100000 = 105;
1000000 = 106 и т. д.

Из приведенных числовых примеров видно, что при возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число, а при возведении в нечетную степень получается отрицательное число.
Это и понятно. Четная степень всякого числа есть произведение четного числа сомножителей, а четное число отрицательных сомножителей дает в произведении положительное число (§ 18).

Нечетная степень отрицательного числа, как произведение нечетного числа отрицательных сомножителей, будет отрицательным числом.

Итак, четная степень отрицательного числа положительна, нечетная степень отрицательна.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *