Возведение в степень

В арифметике сложение равных чисел рассматривается как новое действие — умножение.

При этом число-слагаемое пишется только один раз, а за ним (после знака умножения) пишется число множитель, которое показывает, сколько раз надо взять слагаемым первое число. Например:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5;
.

В алгебре умножение равных между собой чисел рассматривается как новое действие, которое называется возведением в степень.

Если, например, число 5 умножается само на себя, то произведение 5 * 5 = 25 называется второй степенью числа 5; произведение 5 * 5 * 5 = 125 называется третьей степенью числа 5; число 5 * 5 * 5 * 5 = 625 — четвертой степенью этого числа и т. д. При этом говорят, что число 5 возводится во вторую, в третью, в четвертую и т. д. степень.

Определение. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень.

При этом:

  1. Произведение n сомножителей, равных a, называется n-й степенью числа a.
  2. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени.
  3. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени.

Так, в рассмотренном примере основанием степени был взято число 5; показателем степени в первом случае было число 2, во втором — число 3, а в третьем — число 4.

Степень коротко записывают так: пишут основание степени и справа от него вверху (более мелко) показатель степени:

52 = 25,     53 = 125,    54 = 625    и т. д.

В общем случае

Формула степени числа
Приведем примеры, поясняющие все сказанное.

1. Примем за основание число 3 и будем возводить его в различные степени:

32 = 3 * 3 = 9;    33 = 3 * 3 * 3 = 27;    34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81;
35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 и т. д.

2. Примем за основание какое-нибудь отрицательное число, например –2, тогда получим:
(–2)2 = (–2) * (–2) = 4;
(–2)3 = (–2) * (–2) * (–2) = –8;
(–2)4 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = 16;
(–2)5 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = –32 и т. д.
3. Приняв за основание дробное число, например , получим:


4. Приняв за основание дробное отрицательное число, например , получим:

Следует запомнить, что нуль в любой степени равен нулю, единица в любой степени равна 1, так как

Принято вторую степень числа называть квадратом, а третью степень — кубом этого числа.

Это объясняется тем, что площадь квадрата со стороной a выражается второй степенью числа a, то есть a * a = a2 (квадратных единиц), а объем куба с ребром, равным a, выражается третьей степенью этого числа: a * a * a = a3 (кубических единиц). Возведение числа во вторую и третью степень короче называют возведением в квадрат и в куб.

По смыслу определения действия возведения в степень показатель степени может равняться двум, трем, четырем и т. д., то есть может быть только натуральным числом, большим единицы.

Принято считать, что первая степень любого числа есть само это число, например:

51 = 5;    8,351 = 8,35;    (–3)1 = –3.

Заметим, однако, что показатель 1 обычно не пишется.

Итак, если число записано без показателя степени, то подразумевается, что этот показатель равен 1.

В арифметике показателями степени пользуются для краткой записи разложения целых чисел на множители в том случае, когда среди простых множителей данного числа имеются равные между собой. Разложив, например, на простые множители число 60984, получим:

60984 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7 * 11 * 11.

Кратко, пользуясь показателями степени, это число можно записать так:

60984 = 23 * 32 * 7 * 112.

Полезно запомнить запись единиц различных разрядов в виде степеней числа 10:

100 = 102;    1000 = 103;    10000 = 104;    100000 = 105;
1000000 = 106 и т. д.

Из приведенных числовых примеров видно, что при возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число, а при возведении в нечетную степень получается отрицательное число.
Это и понятно. Четная степень всякого числа есть произведение четного числа сомножителей, а четное число отрицательных сомножителей дает в произведении положительное число (§ 18).

Нечетная степень отрицательного числа, как произведение нечетного числа отрицательных сомножителей, будет отрицательным числом.

Итак, четная степень отрицательного числа положительна, нечетная степень отрицательна.