Примеры решения уравнений

Задача. Каждую сторону квадратной площадки увеличили на 2 метра, при этом ее площадь увеличилась на 12 квадратных метров. Чему была равна сторона площадки?

Решим эту задачу составлением уравнения.

Пусть x — длина (в метрах) стороны площадки; тогда площадь этой площадки будет равна x2.

После того как сторону увеличили на 2 метра, получилась квадратная площадка со стороной (x + 2) метров, а площадь стала равной (x + 2)2 квадратным метрам. Значит, площадь увеличилась на (x + 2)2 – x2 квадратных метров; но по условию увеличение площади равно 12 кв. м, значит,

(x + 2)2 – x2 = 12

Мы получили уравнение. Чтобы его решить, сначала упростим левую часть. Применим формулу квадрата суммы:

(x + 2)2 – x2 = x2 + 4x + 4 – x2 = 4x + 4.

Значит, уравнение можно записать так:

4x + 4 = 12.

Находим 4x (как неизвестное слагаемое):

4x = 8 и, наконец, x = 2.

При решении получившегося уравнения мы сперва упростили его левую часть.

Во многих случаях, преобразовав сначала выражения, содержащиеся в уравнении, можно упростить это уравнение и привести его к такому виду, который мы уже умеем решать.
Пример.

    (x – 3)(x + 4) – (x + 2)(x – 3) = 2.        (1)

Перемножим двучлены, заключенные в скобки:

(x – 3)(x + 4) = x2 + x – 12;
(x + 2)(x – 3) = x2 – x – 6.

Вычтем из первого произведения второе и перепишем левую часть уравнения в следующем виде: 2x – 6.
Значит, данное уравнение (1) запишется так:

2x – 6 = 2.

Это уравнение мы сможем решить. Найдем сначала 2x (как неизвестное уменьшаемое):

2x = 8,

и, наконец,

x = 4.

Для проверки подставим в исходное уравнение (1) x = 4:

(4 – 3) * (4 + 4) – (4 + 2) * (4 – 3) = 2,
2 = 2.

Значит, уравнение решено верно.