Уравнения первой степени с одним неизвестным

Из предыдущего мы знаем, что равенства, содержащие буквы, могут быть двух родов: тождества и уравнения.

Тождество (см. § 29) — это такое равенство, которое верно при любых (допустимых) значениях входящих в него букв. Так, например, формулы сокращенного умножения:

(a + b)(a – b) = a² – b², (a + b)² = a² + 2ab + b²

и т. д. – это тождества. В § 41 мы установили, пользуясь основными законами арифметических действий, что всегда, какими бы ни были числа a и b, левая часть для каждого из этих равенств равна правой.

Равенство также есть тождество, так как при всяком допустимом значении a (а именно при ) левая его часть равна правой.

В § 24 и 45 мы встречались с другого рода равенствами, содержащими буквы, а именно с уравнениями. Рассмотренные нами в этих параграфах равенства содержали обозначенные буквами неизвестные числа, и нам требовалось решить уравнение, то есть выяснить, существуют ли такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным, и найти эти значения неизвестного.

Пусть, например, даны два алгебраических выражения:

4x – 5 и 2x + 9.

Числовое значение каждого из этих выражений зависит от значения буквы x, как это видно из следующей таблицы, где в первой строке даны различные значения x, а во второй и третьей — соответствующие значения данных алгебраических выражений.

Поставим такой вопрос: найдутся ли такие значения x, при которых оба данных выражения будут иметь одно и то же значение?

Другими словами, при каких значениях x будет справедливо равенство:

    4x – 5 = 2x + 9.    (1)

Если продолжить эту таблицу, то окажется, что при x = 7 данные выражения имеют одно и то же значение 23. Однако из наших рассуждений не видно, существуют ли еще какие-нибудь значения x, при которых левая часть равенства (1) равна правой. Чтобы получить полный ответ, надо изучить свойства уравнений.

В настоящей главе мы изучим основные свойства уравнений и укажем способы их решения в простейших случаях.

Заметим, что уравнение, кроме букв, обозначающих неизвестные числа, может содержать и другие буквы, которые будут означать некоторые известные, определенные числа.

Приведем еще примеры уравнений с одним неизвестным.

Во всех этих уравнениях x является неизвестным числом, а там, где встречаются другие буквы (во втором и шестом уравнениях), мы считаем их известными.

Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой частями уравнения.

1. Корни уравнения. Пусть дано уравнение:

3x – 7 = 29 – 6x.

Подставив в него вместо x число 4, получим:

3 * 4 – 7 = 5 и 29 – 6 * 4 = 5.

Обе части уравнения оказались равными одному и тому же числу. Получили верное равенство. Наоборот, если подставим вместо x любое другое число, например 5, то будем иметь:

3 * 5 – 7 = 8 и 29 – 6 * 5 = –1.

Левая часть оказалась равной 8, а правая –1.

Мы не получили равенства. Задача решения уравнения и состоит в том, чтобы определить, имеются ли такие значения неизвестного, при которых обе части уравнения равны одному и тому же числу (см. § 24), и найти эти значения.

Итак,

Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все те значения неизвестного, при которых уравнение обращается в верное равенство.

Все такие значения неизвестного называются его корнями или решениями.

Так, в предыдущем примере x = 4 является корнем, или решением, уравнения

3x – 7 = 29 – 6x.

Наоборот, например, значение x = 5 не является корнем этого уравнения.

2. Число корней уравнения. Уравнение может иметь единственный корень.

Например, уравнение

x + 3 = 7

имеет единственный корень: x = 4.

Действительно, подставив в уравнение 4 вместо x, получим

4 + 3 = 7

верное равенство. Подставив же в уравнение вместо x любое число, меньшее 4, получим в сумме с 3 число, меньшее 7, а подставив число, большее 4, получим в сумме с 3 число, большее 7. Значит, число 4 является единственным, которое в сумме с 3 дает 7, то есть обращает данное уравнение в верное равенство.

Уравнение может иметь несколько корней.

Так, уравнение

(x – 1)(x – 2)(x – 5) = 0

имеет три корня: x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 5.

Действительно, при x = 1 обратится в нуль первый множитель в левой части, при x = 2 – второй множитель, при x = 5 — третий. А если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю.

Если же мы подставим в уравнение вместо x любое другое число, то ни один из сомножителей в левой части не обратится в нуль. Следовательно, не будет равно нулю и их произведение.

Уравнение может совсем не иметь корней.

Возьмем, например, уравнение:

x + 5 = x + 1.

Какое бы значение мы ни давали букве x, левая часть этого уравнения всегда будет на 4 больше правой. Значит, нет таких значений x, которые обращали бы это уравнение в верное равенство. Уравнение не имеет корней.

Уравнение может иметь бесконечное множество корней.

Пусть дано уравнение:

5(x – 3) + 2 = 3(x – 4) + 2x – 1.

Подставляя вместо x любое число, убедимся, что левая и правая части уравнения будут равны. Значит, любое число является корнем этого уравнения. Покажем это.

Раскрыв скобки, получим:

5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1,

или

5x – 13 = 5x – 13.

В обеих частях оказалось одно и то же выражение.

Итак, данное уравнение оказалось равенством, справедливым при любых значениях буквы x.

Говорят, что данное уравнение удовлетворяется тождественно.