(a + b)(a – b) = a2 – b2, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
и т. д. – это тождества. В § 41 мы установили, пользуясь основными законами арифметических действий, что всегда, какими бы ни были числа a и b, левая часть для каждого из этих равенств равна правой.
Равенство также есть тождество, так как при всяком допустимом значении a (а именно при ) левая его часть равна правой.
В § 24 и 45 мы встречались с другого рода равенствами, содержащими буквы, а именно с уравнениями. Рассмотренные нами в этих параграфах равенства содержали обозначенные буквами неизвестные числа, и нам требовалось решить уравнение, то есть выяснить, существуют ли такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным, и найти эти значения неизвестного.
Пусть, например, даны два алгебраических выражения:
4x – 5 и 2x + 9.
Числовое значение каждого из этих выражений зависит от значения буквы x, как это видно из следующей таблицы, где в первой строке даны различные значения x, а во второй и третьей — соответствующие значения данных алгебраических выражений.
Поставим такой вопрос: найдутся ли такие значения x, при которых оба данных выражения будут иметь одно и то же значение?
Другими словами, при каких значениях x будет справедливо равенство:
4x – 5 = 2x + 9. (1)
Если продолжить эту таблицу, то окажется, что при x = 7 данные выражения имеют одно и то же значение 23. Однако из наших рассуждений не видно, существуют ли еще какие-нибудь значения x, при которых левая часть равенства (1) равна правой. Чтобы получить полный ответ, надо изучить свойства уравнений.
В настоящей главе мы изучим основные свойства уравнений и укажем способы их решения в простейших случаях.
Заметим, что уравнение, кроме букв, обозначающих неизвестные числа, может содержать и другие буквы, которые будут означать некоторые известные, определенные числа.
Приведем еще примеры уравнений с одним неизвестным.
Во всех этих уравнениях x является неизвестным числом, а там, где встречаются другие буквы (во втором и шестом уравнениях), мы считаем их известными.
Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой частями уравнения.
1. Корни уравнения. Пусть дано уравнение:
3x – 7 = 29 – 6x.
Подставив в него вместо x число 4, получим:
3 * 4 – 7 = 5 и 29 – 6 * 4 = 5.
Обе части уравнения оказались равными одному и тому же числу. Получили верное равенство. Наоборот, если подставим вместо x любое другое число, например 5, то будем иметь:
3 * 5 – 7 = 8 и 29 – 6 * 5 = –1.
Левая часть оказалась равной 8, а правая –1.
Мы не получили равенства. Задача решения уравнения и состоит в том, чтобы определить, имеются ли такие значения неизвестного, при которых обе части уравнения равны одному и тому же числу (см. § 24), и найти эти значения.
Итак,
Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все те значения неизвестного, при которых уравнение обращается в верное равенство.
Все такие значения неизвестного называются его корнями или решениями.
Так, в предыдущем примере x = 4 является корнем, или решением, уравнения
3x – 7 = 29 – 6x.
Наоборот, например, значение x = 5 не является корнем этого уравнения.
2. Число корней уравнения. Уравнение может иметь единственный корень.
Например, уравнение
x + 3 = 7
имеет единственный корень: x = 4.
Действительно, подставив в уравнение 4 вместо x, получим
4 + 3 = 7
верное равенство. Подставив же в уравнение вместо x любое число, меньшее 4, получим в сумме с 3 число, меньшее 7, а подставив число, большее 4, получим в сумме с 3 число, большее 7. Значит, число 4 является единственным, которое в сумме с 3 дает 7, то есть обращает данное уравнение в верное равенство.
Уравнение может иметь несколько корней.
Так, уравнение
(x – 1)(x – 2)(x – 5) = 0
имеет три корня: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 5.
Действительно, при x = 1 обратится в нуль первый множитель в левой части, при x = 2 – второй множитель, при x = 5 — третий. А если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю.
Если же мы подставим в уравнение вместо x любое другое число, то ни один из сомножителей в левой части не обратится в нуль. Следовательно, не будет равно нулю и их произведение.
Уравнение может совсем не иметь корней.
Возьмем, например, уравнение:
x + 5 = x + 1.
Какое бы значение мы ни давали букве x, левая часть этого уравнения всегда будет на 4 больше правой. Значит, нет таких значений x, которые обращали бы это уравнение в верное равенство. Уравнение не имеет корней.
Уравнение может иметь бесконечное множество корней.
Пусть дано уравнение:
5(x – 3) + 2 = 3(x – 4) + 2x – 1.
Подставляя вместо x любое число, убедимся, что левая и правая части уравнения будут равны. Значит, любое число является корнем этого уравнения. Покажем это.
Раскрыв скобки, получим:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1,
или
5x – 13 = 5x – 13.
В обеих частях оказалось одно и то же выражение.
Итак, данное уравнение оказалось равенством, справедливым при любых значениях буквы x.
Говорят, что данное уравнение удовлетворяется тождественно.