Решение задач с помощью уравнений
В дальнейшем, по мере изучения алгебры, будет видно, какую огромную роль играют уравнения в решении задач. С помощью уравнений легко решаются многие задачи, которые с большим трудом или даже совсем не могут быть решены арифметически, причем арифметическое решение обычно бывает очень сложным и громоздким. Примеры таких задач будут даны в дальнейших разделах алгебры. Здесь же дадим примеры решения с помощью уравнений некоторых простых задач.
Задача 1. Для класса были заготовлены тетради. Когда роздали 48 тетрадей, то их осталось 32 штуки. Сколько тетрадей было заготовлено?
Составим уравнение по условию задачи. Число заготовленных тетрадей обозначим через x. Когда роздали 48 тетрадей, то их запас уменьшился на 48, то есть тетрадей стало
x – 48.
Но в задаче сказано, что тетрадей осталось 32. Значит, остаток x – 48 должен равняться 32, то есть
x – 48 = 32.
Решим это уравнение. Неизвестное число – уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с разностью. Значит,
x = 48 + 32, или x = 80.
Проверка. 80 – 48 = 32.
Возникает вопрос: что означает отрицательное число, если оно получается в результате решения задачи?
Рассмотрим несколько задач.
Задача 2. Я задумал число. Когда прибавил к нему 27 и результат разделил на 6, то получил 3. Какое число я задумал?
1) Обозначим задуманное число через x.
2) Прибавив к нему 27, получим x + 27.
3) Разделив результат на 6, получим 
.
4) По условию задачи в итоге должно получиться 3. Значит, 
x + 27 = 18.
Теперь найдем x как неизвестное слагаемое:
x = 18 — 27, x = –9.
6) Проверим подстановкой:
Итак, здесь число –9 является ответом на вопрос задачи. Я действительно задумал число –9, произвел на ним указанные действия и получит 3. Отрицательные числа здесь являются допустимыми значениями для неизвестного.
Задача 3. Ученик купил тетрадь за 7 коп. и несколько карандашей по 2 коп. за карандаш. Сколько карандашей он купил, если заплатил за всю покупку 3 коп.?
1) Обозначим число купленных карандашей через x.
2) Тогда все карандаши стоят 2x копеек.
3) Карандаши и тетрадь вместе стоят (2x + 7) копеек.
4) По условию задачи:
2x + 7 = 3.
5) Решаем уравнение:
2x = –4; x = –2.
Но нельзя купить «минус два карандаша». Число карандашей не может быть отрицательным. Отрицательные значения не являются допустимыми для неизвестного. Значит, полученное отрицательное число показывает, что задача не имеет решения. Это и понятно: нельзя за карандаши и тетрадь заплатить меньше, чем за одну тетрадь.
Задача 4. Автомобиль идет из города со скоростью 60 км в час. В настоящий момент он находится от города в 240 км. Через сколько часов автомобиль будет на расстоянии 120 км от города?
Приняв за x часов время, через которое автомобиль будет в 120 км от города, последовательно получим:
60x + 240 = 120, 60x = –120, x = –2.
Можно сделать вывод, что и здесь отрицательный ответ указывает на отсутствие решения. Действительно, если автомобиль находится в данный момент в 240 км от города и продолжает удаляться от него, то никогда не наступит такой момент, когда автомобиль будет находиться в 120 км от города.
Но можно подойти к полученному ответу и по-другому. Условимся, как и раньше, время, отсчитываемое в будущее от настоящего момента, обозначать положительным числом, а время, отсчитываемое в прошлое, – отрицательным.
При этом условии для неизвестного будут допустимыми как положительные, так и отрицательные значения и полученный ответ –2 приобретает определенный смысл: он означает «2 часа назад». Действительно, 2 часа назад автомобиль находился от города на расстоянии
240 – 60 * 2 = 120 (км).
Итак, отрицательные значения неизвестного, полученные в результате решения задачи, или дают определенный ответ на вопрос задачи, или указывают на отсутствие решения, в зависимости от того, являются ли отрицательные значения допустимыми для неизвестного или нет.