Общие указания к решению уравнений

Во многих случаях решение уравнений сводится к тому, что мы данное уравнение заменяем другим, ему равносильным, но более простым, это другое заменяем третьим и так продолжаем до тех пор, пока не получим самое простое уравнение вида x = a, которое прямо указывает, что неизвестное должно быть равно числу a. Следовательно, x = a должно быть корнем и всех предыдущих равносильных ему уравнений, в том числе и данного.

Возьмем несколько уравнений и проследим, какие преобразования приходится над ними производить, чтобы прийти к простейшему уравнению.

Решим уравнение:


1) Сделаем коэффициенты всех членов целыми числами. Для этого умножим каждый член уравнения на 12. Произведя сокращения, получим:

4(x – 4) + 6(x + 1) – 12 = 30(x – 3) + 24x – 2(11x + 43).

2) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное, и свободные члены, раскроем скобки:

4x – 16 + 6x – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

3) Сгруппируем теперь в одной части члены, содержащие неизвестное, в другой — свободные члены.

4) Упростим уравнение, приведя подобные члены:

154 = 22x.

5) Разделим обе его части на 22. Получим:

x = 7.

Корнем этого уравнения, а следовательно, и всех предыдущих является 7.

Предлагаем учащимся проверить корень, подставив в каждое из полученных уравнений x = 7, и убедиться, что 7 является корнем всех этих уравнений.

Из рассмотренного примера видно, что к решению уравнения первой степени можно дать такие указания:

  1. Привести уравнение к уравнению с целыми коэффициентами.
  2. Раскрыть скобки.
  3. Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены — в другой.
  4. Привести подобные члены.
  5. Если коэффициент при неизвестном не нуль, то разделить на него обе части уравнения.

Но эти указания ни в коей мере не будут являться обязательными для всякого уравнения.

Во-первых, при решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и даже сразу с пятого этапа.

Во-вторых, при решении некоторые промежуточные этапы могут оказаться ненужными.

Пример.

Умножив обе части уравнения на 12, получим уравнение с целыми коэффициентами:

4x – 6 = 3x + 4

и сразу переходим к третьему этапу:

4x – 3x = 4 + 6.

Откуда x = 10.

Раскрывать скобки здесь не пришлось.

В-третьих (и это главное), иногда бывает выгоднее нарушить указанный порядок, если уравнение решается проще и короче.

Примеры.
1. 7(x – 3) = 56.

Здесь следует, не раскрывая скобок, сначала разделить обе части на 7:

x – 8;    x = 11.

Уравнение решается в два действия.

Решение по схеме потребовало бы четырех действий (два умножения, сложения и деление).

2. .

Здесь выгоднее сразу начать с третьего этапа, так как видно, что после приведения подобных членов коэффициент при х будет целым.

Еще лучше одновременно выполнить третий и четвертый этапы, то есть вычесть в уме изи 3 из 87, и сразу записать:

7x = 84;    x = 12.