Деление

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Разделить одно число на другое — значит найти такое третье число, которое, будучи умножено на делитель, даст в произведении делимое:

a : b = c, если bc = a.

Основываясь на этом определении, выведем правило деления для рациональных чисел.

Прежде всего укажем раз навсегда, что делитель не может быть нулем. Деление на нуль исключается по той же причине, по которой оно было исключено в арифметике.

Абсолютная величина с равна произведению абсолютных величин b и c. Значит, абсолютная величина c равна абсолютной величине a, деленной на абсолютную величину b.

Определим знак частного c.

Если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, то частное — положительное число. Действительно, если a и b положительны, то частное c тоже будет положительным числом.

Пример. 12 : 4 = 3, так как 4 * 3 = 12.

Если a и b отрицательные, то частное c и в этом случае должно быть положительным, так как, умножив на него отрицательное число b, мы должны получить отрицательное число a.

Пример. –12 : (–4) = 3, так как (–4) * 3 = –12.

Если делимое и делитель имеют разные знаки, то частное — отрицательное число. Действительно, если a положительно, а b отрицательно, то c должно быть отрицательным, так как, умножив на него отрицательное число b мы должны получить положительное число a.

Пример. 12 : (–4) = –3, так как (–4) * (–3) = 12.

Если a отрицательно, а b положительно, то и в этом случае c должно быть отрицательным числом, так как, умножив на него положительное число b, мы должны получить отрицательное число a.

Пример. (–12) : 4 = –3, так как 4 * (–3) = –12.

Итак, мы пришли к следующему правилу деления:

Чтобы разделить одно число на другое, надо абсолютную величину делимого разделить на абсолютную величину делителя и перед частным поставить знак плюс, если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, и знак минус, если делимое и делитель имеют противоположные знаки.

Как мы уже говорили, деление на нуль невозможно, поясним это более подробно. Пусть требуется разделить какое-нибудь не равное нулю число, например –3, на 0.

Если число a есть искомое частное, то, умножив его на делитель, то есть на 0, мы должны получить делимое, то есть –3. Но произведение a * 0 равно 0, и делимое –3 не может получиться. Отсюда мы заключаем, что число –3 на нуль разделить нельзя.

Пусть требуется число 0 разделить на 0. Пусть a — искомое частное; умножив a на делитель 0, получим в произведении 0 при любом значении a:

a * 0 = 0.

Таким образом, мы не получили никакого определенного числа: умножив на 0 любое число, мы получим 0. Поэтому деление нуля на нуль также считается невозможным.

Для рациональных чисел остается в силе следующее основное свойство частного:

Частное двух чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же число (не равное нулю).

Поясним это такими примерами.

1. Рассмотрим частное 6 : 3 = 2; умножим делимое и делитель на –4; тогда получим новое частное

[6 * (–4)] : [3 * (–4)] = (–24) : (–12) = 2.

Итак, в новом частном мы получили то же самое число 2.

2. Рассмотрим частное ; умножим делимое и делитель на ; тогда получим такое частное:

Частное не изменилось, так как получилось то же самое число ..