Решение системы уравнений

Систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными можно решить несколькими различными способами.

1. Способ алгебраического сложения.

Примеры.

1. Решим систему:

Коэффициенты при у в обоих уравнениях одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому если вместо, например, первого уравнения возьмем суммы данных уравнений, то в этой сумме сократятся члены, содержащие неизвестное y.

Получим систему:

Эта система равносильна данной (§ 79, п. 2). Но в ней первое уравнение содержит только одно неизвестное x, из него найдем: x = 4.

Подставим это значение x во второе уравнение, получим уравнение, содержащее одно неизвестное:

8 + 3y = 11,

из которого получим y = 1.

Решением системы является пара чисел: x = 4, y = 1.

2. Решим систему:

Коэффициент при x во втором уравнении втрое больше, чем в первом. Умножим поэтому обе части первого уравнения на 3. Получим систему (§ 48, свойство 2), равносильную данной:

Коэффициенты при x стали одинаковыми. Возьмем разность этих уравнений:

–10y = –20 и y = 2.

Подставив 2 вместо y в одно из данных уравнений, найдем x = 8.

Решение системы: x = 8, y = 2.

Мы могли бы уравнять коэффициенты не при x, а при y, умножив первое уравнение на 11, а второе на 7.

Из приведенных примеров видно, что решение системы уравнений способом алгебраического сложения заключается в следующем:

  1. Уравниваем абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных.
  2. Производим сложение полученных уравнений, если равные по абсолютной величине коэффициенты имеют противоположные знаки. Если же они имеют одинаковые знаки, то производим вычитание.
  3. Полученное уравнение содержит одно неизвестное; находим это неизвестное.
  4. Подставляем найденное значение неизвестного в одно из данных уравнений и находим значение второго неизвестного.

2. Способ подстановки.

Возьмем систему:

(1)

Выразив из второго уравнения одно из неизвестных, например x, через другое, получим:

(2)

Подставим это выражение для x в первое уравнение:

(3)

Система уравнений (2) и (3) равносильна системе уравнений (1) (§ 79, п. 3). Из уравнения (3) y = 1.

Подставив y = 1 в уравнение (2), найдем:

Решение системы: x = 4, y = 1.

Из этого примера видим, что решение системы уравнений способом подстановки заключается в следующем:

  1. В одном из данных уравнений выражаем одно неизвестное через другое.
  2. Подставляем полученное выражение в другое данное уравнение.
  3. Решаем полученное уравнение, содержащее одно неизвестное; находим это неизвестное.
  4. Подставляем данное значение неизвестного в полученное выражение для другого неизвестного и находим второе неизвестное.

Способ подстановки удобно применять тогда, когда один из коэффициентов при неизвестном равен единице.