Координаты точки на плоскости

Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси: первая ось OX и вторая ось OY (черт. 20а). Эти оси будем называть осями координат. Первая ось OX (изображенная на чертеже 20а в горизонтальном положении) называется осью абсцисс. Вторая ось OY (изображенная на чертеже 20а в вертикальном положении) называется осью ординат. Точка O пересечения осей координат называется началом координат. Эту точку будем считать «нулевой» точкой для обеих осей. Положительные числа будут изображаться на оси абсцисс точками вправо, а на оси ординат — точками вверх от нулевой точки. Отрицательные числа будут изображаться точками влево и вниз от начала координат O. Плоскость, на которой даны оси координат, кратко называется координатной плоскостью.

Оси координат

Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями (или квадрантами).

Принято эти четверти нумеровать (римскими цифрами) в том порядке, как показано на чертеже 20а.

Возьмем на плоскости произвольную точку M и опустим из нее перпендикуляры на оси координат. Пусть M1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на ось абсцисс. Число, которое точка M1 изображает на оси абсцисс, называется абсциссой точки M. Пусть M2 — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на ось ординат (черт. 20б). Число, которое точка M2 изображает на оси ординат, называется ординатой точки M. На чертеже 21 абсцисса точки M равна 3, а ордината 5, абсцисса точки A равна –2, ордината –3; абсцисса точки B равна –2, ордината 4.

Абсцисса и ордината называются координатами данной точки плоскости.

Координаты точки записываются в скобках справа от обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за ней ордината.
Так, запись M (3; 5) обозначает, что абсцисса точки M равна трем, а ордината — пяти.

Рассмотрим некоторые частные положения точки.

Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю. Так, например, точка C на чертеже 21 имеет координаты –3 и 0.

Если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю, например точка D (0; –3) (черт. 21).
Наконец, начало координат — точка O — имеет и абсциссу и ординату, равные нулю: O (0; 0).

Координаты точек
Задача 1. Построить точку по данным ее координатам, например построить точку A (2; –3).

Решение. На оси абсцисс (черт. 22) находим точку 2 и проводим из нее перпендикуляр к этой оси. На оси ординат находим точку –3 и проводим из нее перпендикуляр к этой оси. Пересечение перпендикуляров и даст искомую точку A.

Таким образом, если заданы два числа в определенном порядке, то есть указано, какое из этих чисел считается первым (абсцисса), какое вторым (ордината), то такая пара чисел определяет на координатной плоскости положение точки.

Значит, координаты точки — это числа, определяющие ее положение на плоскости.

Задача 2. На плоскости даны оси координат и произвольная точка N. Найти ее координаты.

Решение ясно из определения координат точки. Проводим из заданной точки перпендикуляры к осям координат. Основания этих перпендикуляров и определят ее координаты.

Так, на чертеже 22 заданная точка N имеет координаты (–1; –2).

Координаты точки N