Сравнение рациональных чисел

Мы умеем сравнивать между собой любые положительные числа, то есть всегда сможем указать, какое из двух данных положительных чисел больше и какое меньше.

Теперь, когда введены новые, отрицательные числа, нужно установить правило сравнения этих чисел как между собой, так и с положительными числами.

Для этого обратимся к числовой оси. Посмотрим, как расположены на ней положительные числа, сравнивать которые мы уже умеем.

Мы видим, что по мере продвижения вправо от точки O положительные числа становятся все больше и больше. По мере продвижения влево (к точке O) числа, наоборот, уменьшаются до нуля. Значит, из двух положительных чисел то больше, которое на числовой оси изображается точкой, расположенной правее.

Распространим этот признак на всю числовую ось, установив такое правило:
из любых двух чисел то больше, которое на числовой прямой изображается точкой, расположенной правее.

Если число a больше числа b, то, так же как и в арифметике, пишут a > b (или b < a), обращая знак неравенства острием к меньшему числу.

Сравнение чисел на числовой оси

Так, например, рассматривая чертеж 5, мы видим, что

3 > 0;    1 > –5;     ;    -3 > -10;    -4 < -1.

Из установленного правила вытекает, что:

1. Всякое положительное число больше нуля и больше всякого отрицательного числа.

2. Всякое отрицательное число меньше нуля.

Возьмем какие-нибудь два отрицательных числа, например -5 и -15.

Согласно правилу сравнения можно написать:

-5 > -15.

Но если возьмем абсолютные величины этих чисел и сравним их, то получим:

|-5| < |-15|.

Мы видим, что если одно отрицательное число больше другого, то его абсолютная величина меньше абсолютно величины другого, и, наоборот, если абсолютная величина одного отрицательного числа больше абсолютной величины другого отрицательного числа, то само это число меньше другого числа.

Например:

|-15| > |-8|, но -15 < -8;

Итак,

3. Из двух отрицательных чисел то больше, абсолютная величина которого меньше.

Поэтому

-11 > -12, так как 11 < 12;
-1,2 < -1, так как 1,2 > 1.