Вынесение за скобки общего множителя

Пример 1. Пусть дан многочлен:

6a2 – 8ab + 4a.

Легко видеть, что все его члены имеют общим множителем 2a, так что можно это выражение записать в таком виде:

2a * 3a – 2a * 4b + 2a * 2.

Применив распределительный закон, получим:

6a2 – 8ab + 4a = 2a(3a – 4b + 2).

Таким образом, данный многочлен мы представили в виде произведения одночлена и многочлена.

Из этого примера видно, что для разложения многочлена на множители путем вынесения за скобки общего множителя следует:

  1. определить этот общий множитель,
  2. разделить на него данный многочлен,
  3. записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Покажем на примере, как это обычно делается.

Пример 2. Разложить на множители многочлен:

12x4y2 – 18x3y2 + 24x2yz3.

  1. Заметим, что число 6 является общим делителем коэффициентов всех членов данного многочлена.
  2. Берем первую букву первого члена x и смотрим, в какой степени она входит во все члены. Наименьший показатель x равен двум (в третьем члене). Отсюда следует, что все члены многочлена делятся на x2, то есть x2 является общим делителем.
  3. Находим, что вторая буква первого члена y должна быть взята в первой степени. (Букву z не рассматриваем, так как уже в первом члене она отсутствует.)

Таким образом, общим делителем всех членов многочлена является одночлен 6x2y.

Остается найти частное от деления данного многочлена на этот одночлен.

Получим:

12x4y2 – 18x3y2 + 24x2yz3 = 6x2y(2x2y – 3xy + 4z3).

Это и есть окончательный результат.

Пример 3. Разложить на множители многочлен:

10a3b – 8a2b3 + 2a.

Здесь сразу видно, что общим множителем может быть лишь 2a, так как на 2 и на a делятся все члены; с другой стороны, последний член 2a никакого другого множителя не имеет. Поступив, как в предыдущем примере, получим:

10a3b – 8a2b3 + 2a. = 2a(5a2b – 4ab3 + 1).

Иногда алгебраическое выражение представляет собой алгебраическую сумму двух или нескольких слагаемых, причем все они имеют один и тот же многочленный множитель. Тогда он выносится за скобки так же, как и отдельная буква.

Пример 4. Разложить на множители:

5x3(a – b) – 4x2y(a – b) – 7xy2(a – b).

Общий множитель будет x(a – b).

Получим:

5x3(a – b) – 4x2y(a – b) – 7xy2(a – b). = x(a – b)(5x2 – 4xy + 7y2).