Приведение дробей к общему знаменателю

Основное свойство дроби дает возможность алгебраические дроби с различными знаменателями преобразовать в тождественные им дроби с одинаковыми знаменателями (говорят: привести дроби к общему знаменателю).

Такое преобразование приходится производить, как и в арифметике, при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.

Из рассмотрения нескольких примеров выведем общее правило приведения дробей к общему знаменателю.

1. Дроби с одночленными знаменателями. Приведем к общему знаменателю дроби:


Общий знаменатель должен делиться на каждый из данных знаменателей. Составим его в таком порядке.

1) Коэффициент общего знаменателя должен делиться на 4, на 6 и на 9. Наименьшим таким числом будет 36.

2) Общий знаменатель должен делиться на a, на a3 и на a4. Значит, он должен содержать множитель a4.

3) Точно так же найдем, что буква b должна войти в знаменатель в пятой степени, а буква c — во второй степени.

В итоге получим общий простейший знаменатель 36a4b5c2.

Чтобы получить в первой дроби знаменатель 36a4b5c2, надо ее числитель и знаменатель умножить на 9a3c2. Получим:

Таким же образом найдем:

За общий знаменатель можно было бы взять, например, одночлен 72a5b7c3, так как он делится на каждый из знаменателей данных дробей. Однако этот одночлен имеет больший коэффициент и содержит буквы в более высоких степенях, чем одночлен 36a4b5c2.

Одночлен 36a4b5c2 для данных дробей является простейшим общим знаменателем.

Отсюда следует, что простейший общий знаменатель дробей с одночленными знаменателями есть наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей, умноженное на все различные буквы, входящие в знаменатели, причем каждая буква берется с наибольшим показателем, с каким она входит в знаменатели.

Примечание. Алгебраическую дробь с дробными коэффициентами числителя и знаменателя всегда можно заменить дробью, у которой числитель и знаменатель имеют целые коэффициенты. Так, например, дробь можно заменить дробью .

2. Дроби с многочленными знаменателями. Приведем к общему знаменателю дроби:

Разложим на множители знаменатели:

4x2 – 4y2 = 4(x2 – y2) = 4(x + y)(x – y);
5x2 + 10xy + 5y2 = 5(x2 + 2xy + y2) = 5(x + y)2;
10x2 – 20xy + 10y2 = 10(x2 – 2xy + y2) = 10(x – y)2.

Составим общий знаменатель так же, как и в случае одночленных знаменателей.

Коэффициентом общего знаменателя будет наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 10, то есть 20.

Множитель (x + y) возьмем в наибольшей степени, в которой он входит в знаменатели, то есть во второй. Множитель (x – y) также возьмем во второй степени.

Простейший общий знаменатель будет:

20(x + y)2(x – y)2.

Дроби примут следующий вид:


(Проверьте при x = 2, y = 1, a = b = c = 10.)

Отсюда такое правило:

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю алгебраические дроби с многочленными знаменателями, надо знаменатели разложить на множители. Простейшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей, умноженное на все различные множители, входящие в знаменатель, причем каждый множитель берется с наибольшим показателем, с каким он входит в знаменатель.

Примечание. Если какой-нибудь из знаменателей не разлагается на множители, то он берется весь целиком как множитель.