График трехчлена y = ax² + bx + c

Построим график функции y = 2x2 и сравним между собой функции

    y = x2    (1)

и

    y = 2x2.    (2)

Мы видим, что при одном и том же значении аргумента x значение y функции (2) будут в 2 раза больше значений функции (1). Например:


Это значит, что ордината каждой точки графика функции (2) равна удвоенной ординате точки с той же абсциссой графика функции (1).

Отсюда следует, что график функции (2) можно получить так: построить график функции (1) (черт. 74) и удвоить ординату каждой его точки.

Наглядно это преобразование можно представить при помощи следующей модели.
Представим себе ось OX в виде неподвижной планки, а верхнюю полуплоскость — в виде растяжимой (например, резиновой) пленки, на которой начерчена парабола y = x2. Если теперь растянуть пленку по направлению вверх в 2 раза, то парабола y = x2 перейдет в параболу y = 2x2 (черт. 75).

Полученная линия (черт. 75) и будет графиком функции (2). Эта линия тоже называется параболой. По сравнению с параболой y = x2 она «более круто» поднимается вверх.

Рассмотрим теперь функцию

. (3)

Чтобы перейти от графика (1) к графику (3), достаточно все ординаты точек графика (1) уменьшить в 2 раза.

На нашей модели это будет соответствовать не растяжению, а сжатию пленки в 2 раза. Вообще, чтобы построить график функции y = ax2, где a — положительное число, достаточно все ординаты точек параболы y = x2 умножить на a.

При помощи нашей модели этот переход можно пояснить как растяжение при a > 1 (в a раз) либо сжатие при a < 1 раза) основной параболы y = x2.

Рассмотрим график функции

     y = –2x2.      (4)

Очевидно, при любом значении x значения y в (2) и (4) будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Это значит, что точки графиков функций (2) и (4) с одной и той же абсциссой имеют противоположные ординаты, то есть расположены симметрично относительно оси абсцисс.

Отсюда следует, что и весь график функции (4) будет симметричен с графиком (2) относительно оси абсцисс.

Таким образом, график функции y = –2x2 можно получить, повернув (в пространстве) график функции y = 2x2 на 1800 вокруг оси абсцисс.

Иначе говоря, парабола y = –2x2 получается зеркальным отражением параболы y = 2x2 в оси абсцисс.

Вообще, при a < 0 график функции y = ax2 можно получить из основной параболы y = x2 так: умножить ординаты точек параболы y = x2 на |a| (растяжение либо сжатие), а затем зеркально отразить полученную параболу в оси абсцисс.

На чертеже 76 изображен ряд парабол y = ax2 при различных значениях a. Мы видим, что при a > 0 параболы обращены вогнутостью вверх, а при a < 0 — вниз.


Построим график полного квадратного трехчлена, например:

y = 2x2 + 4x + 6.

Проделаем такие преобразования. Вынесем за скобку коэффициент при x2, а затем выделим полный квадрат:

y = 2(x2 + 2x + 3) = 2(x2 + 2x + 1 + 2)

и, наконец,

y = 2(x + 1)2 + 4.

Этот график можно получить из параболы y = x2 постепенными преобразованиями так:

1) перенесем параболу y = x2 на 1 единицу влево (черт. 77a), получим:

y = (x + 1)2;

2) умножим все ординаты на 2 (растяжение в 2 раза), получим:

y = 2(x + 1)2;

3) перенесем последний график вверх на 4 единицы, получим искомый график (черт. 77б):

y = 2(x + 1)2 + 4.

Примечание. Практически можно ограничиться построением лишь одной параболы. Для этого достаточно через точку O1 (–1; 4) провести оси O1X1 и O1Y1, параллельные осям XOY, и во вспомогательной системе координат X1O1Y1 построить (например, по точкам) параболу y1 = 2x12.

Рассмотрим еще пример: построим график

Представим данную функцию в следующем виде:

.

Строим график постепенно так:

1) переносим параболу y = x2 на 3 единицы вправо:

y = (x – 3)2;

2) умножаем ординаты на (сжатие): ;

3) отражаем зеркально в оси абсцисс:

;

4) переносим вверх на 2 единицы:

.

Все сказанное применимо к квадратному трехчлену с любыми коэффициентами.

Рассмотрим квадратный трехчлен в общем виде:

y = ax2 + bx + c.

Выполним такие преобразования:

,

и, наконец,

.

Мы видим, что искомый график можно получить, перенеся параболу y = x2 на в направлении оси абсцисс, умножив ординаты точек полученной параболы на a и перенеся последний график на в направлении оси ординат.

В результате этих преобразований вершина параболы окажется в точке ; при этом парабола обращена вогнутостью вверх при a > 0 и вниз при a < 0.