Уравнение вида ax² + c = 0

Задача. Длина прямоугольного участка земли в 5 раз больше его ширины, а площадь равна 720 м2. Вычислить длину и ширину участка.

Решение. Обозначим ширину участка через x метров. Тогда длина его будет равна 5x метрам. Площадь равна 5x * x = 5x2 (м2).

По условию

5x2 = 720.

Получили уравнение с одним неизвестным.

Решим его. Разделив обе части уравнения на 5, получим равносильное ему уравнение:

x2 = 144,

из которого найдем:

x = ±√144 = ±12.

Но по условию задачи для неизвестного допустимыми являются только положительные значения. Значит, решением задачи будет только x = 12.

Ответ. Ширина участка равна 12 м, а длина равна 12 * 5 = 60 м.

Пусть вообще имеем уравнение, которое после перенесения всех членов в левую часть и приведения подобных будет иметь вид:

     ax2 + c = 0 (где a ≠ 0).    (1)

Перенесем свободный член c в правую часть и разделим уравнение на a; тогда получим уравнение

, (2)

равносильное данному.

Рассмотрим следующие возможные случаи.

Случай 1. Пусть a и с — числа одинакового знака (то есть либо оба положительны, либо оба отрицательны); тогда есть положительное число, а отрицательное число. Но мы знаем, что x2 ≥ 0, а потому не может равняться отрицательному числу; в этом случае уравнение (2), а значит, и данное, равносильное ему уравнение (1) не имеют решений.

Так, например, уравнение 2x2 + 3 = 0 не имеет решений.

Это и понятно: левая его часть — положительное число при всех значениях x, а потому не может равняться нулю.

Случай 2. Пусть c = 0. Тогда уравнение (2) примет вид: x2 = 0. Очевидно, что это равенство будет верным только при x = 0. Значит, при c = 0 уравнение (1), равносильное (2), имеет единственное решение x = 0.

Случай 3. Числа a и с имеют противоположные знаки (одно из них положительно, а другое отрицательно). Тогда число отрицательно, а противоположное ему числоположительно.
В этом случае уравнение

,

равносильное данному, имеет два корня:

.

Следовательно, и уравнение (1) имеет два корня:

Примеры:

1) 9x2 – 4 = 0; .

2) x2 – 1,69 = 0; x1,2 = ±1,3.

Вычислить мы всегда можем приближенно с той степенью точности, какая нам требуется.

Пример.

x2 – 5 = 0 и, значит, x = ±√5.

Следовательно, мы можем записать (см. таблицу В. М. Брадиса) x ≈ ±2,2 (с двумя значащими цифрами); x ≈ ±2,24 (с тремя значащими цифрами); x ≈ ±2,236 (с четырьмя значащими цифрами).