Уравнение вида ax² + bx = 0

Задача. Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины. Когда ширину участка увеличили на 9 м, площадь его увеличилась в 4 раза. Найти первоначальные размеры участка.

Решение. Обозначим через x метров первоначальную ширину участка. Тогда можно составить такую таблицу:

Длина Ширина Площадь
Первоначальный участок x 5x 5x2
Расширенный участок x + 9 5x 5x(x + 9)

По условию площадь расширенного участка в 4 раза больше площади первоначального. Значит, получаем уравнение:

     4 * 5x2 = 5x(x + 9).    (1)

Разделим обе части уравнения на 5 и приведем его к нормальному виду:

3x2 – 9x = 0,

или

    x2 – 3x = 0.    (2)

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его. Вынеся x за скобки, получим:

x(x – 3) = 0.

Но произведение равно нулю в том, и только в том, случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Значит, должно быть: 1) либо x = 0, 2) либо x – 3 = 0, то есть x = 3.

Итак, мы получили два корня уравнения: x1 = 0; x2 = 3.

Подстановкой в уравнение (1) убедимся, что оба они ему удовлетворяют. Но по смыслу задачи число x, выражающее ширину участка, не может быть нулем. Значит, остается одно решение: x = 3.

Длину участка найдем, умножив ширину на 5:

3 * 5 = 15.

Задача имеет единственное решение: длина первоначального участка была равна 15 м, а ширина 3 м.

Решим теперь неполное квадратное уравнение

    ax2 + bx = 0    (3)

в общем виде. Вынеся x за скобки, получим:

    x(ax + b) = 0     (4)

И здесь, как и для уравнения (1), будем иметь два корня:

1) x1 = 0;

2) ax + b = 0, откуда Значение x в неполном квадратном уравнении.

В частности, если b = 0, то получим: x2 = 0, то есть уравнение (3), или, что то же, уравнение (4) имеет лишь один корень: x = 0.

Действительно, если b = 0, то уравнение (3) примет вид ax2 = 0, где a ≠ 0. Очевидно, что левая часть этого уравнения будет равна нулю только при x = 0.