Арифметический корень

Решая в § 91 уравнение x² = 81, мы нашли его положительный корень: x = 9. Но легко установить, что и число –9 тоже является решением этого уравнения, так как (–9)² = (–9) * (–9) = 81. Значит, число 81 имеет два квадратных корня: 9 и –9. Положительное число 9 называют арифметическим корнем из 81. Точно так же число 144 имеет два квадратных корня 12 и –12. Положительное число 12 называют арифметическим корнем из 144. Вообще, если b является квадратным корнем из какого-либо положительного числа a, то и число, противоположное числу b, тоже является квадратным корнем из a. Действительно, если b² = a, то и (–b)² = (–b) * (–b) = b² = a. Один из корней является положительным, другой отрицательным числом.

Если a = 0, то единственным числом, квадрат которого равен 0, есть b = 0.

Определение. Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа называется арифметическим квадратным корнем из этого числа.

Арифметический корень из числа a обозначается так: . Число a, из которого извлекают корень, называется подкоренным числом.

Примеры.

Нетрудно убедиться, что арифметический корень из неотрицательного числа может иметь лишь единственное значение. Поясним это примером. Имеем: , но никакое другое неотрицательное число, будучи возведено в квадрат, не может дать 49.

В самом деле, если взять любое число (неотрицательное), меньшее 7 (например, 6; 6,5; 6,7 и т. п.), то, возведя его в квадрат, получим число, меньшее 49.

Если же взять любое число, большее 7 (например, 8; 7,5; 7,9 и т. п.), то, возведя его в квадрат, получили число, большее 49, и лишь одно положительное число 7, возведенное в квадрат, даст 49.

Таким образом, из всего сказанного выше вытекает следующее:

1. Для выражения допустимыми значениям a могут быть лишь неотрицательные числа, то есть .

2. Само выражение также может иметь лишь неотрицательные значения, то есть .

3. Уравнение x² = a при ^a > 0, кроме решения , имеет еще отрицательное решение , значит, данное уравнение имеет два решения: (при a = 0 получается одно решение: x = 0).

Из неотрицательности арифметического корня следует, что равенство

имеет место не всегда.

Это равенство будет верным лишь при условии, что . Если a < 0, то верным будет такое равенство:

Например, если a = –5, то будем иметь:

Точно так же и т. п.
Таким образом, правильно можно записать так:

Приняв во внимание, что абсолютная величина числа всегда положительна (или равна нулю) оба эти равенства можно объединить в одно:

Например: .