x2 = 20,
и нам требуется найти арифметический корень из числа 20.
Очевидно, что x не может быть целым числом, так как 42 < 20 < 52, а между двумя соседними целыми числами 4 и 5 не содержится ни одного целого числа.
Наша задача имеет вполне определенный практический смысл, и ее можно решить приближенно с требуемой точностью.
Покажем, как это можно сделать.
Мы указали два соседних целых числа 4 и 5 такие, что 42 меньше, а 52 больше, чем 20.
Число 4 называется приближенным квадратным корнем из 20 с точностью до 1 с недостатком, число 5 — приближенным корнем из 20 с точностью до 1 с избытком.
Рассмотрим теперь десятичные дроби, заключающиеся между 4 и 5 и имеющие целое число десятых долей:
4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6; 4,7; 4,8; 4,9.
Будем последовательно возводить эти дроби в квадрат, пока не получим числа, большего 20.
Итак, мы получили:
(4,4)2 < 20 < (4,5)2.
Числа 4,4 и 4,5 называются приближенными значениями квадратного корня из 20 с точностью до 0,1 с недостатком и с избытком (соответственно).
Если нам недостаточна полученная точность, то поступим так: будем выписывать десятичные дроби, заключенные между 4,4 и 4,5 и содержащие целое число сотых долей, а затем будем последовательно возводить эти дроби в квадрат, пока не получим числа, большего 20.
Числа 4,47 и 4,48 называются приближенными значениями квадратного корня из 20 с точностью до 0,01 с недостатком и с избытком.
Точно так же (если это нужно) можно получить приближенные значения с точностью до 0,001; это будут числа 4,472 и 4,473, так как (4,472)2 = 19,998784 и (4,473)2 = 20,007729 и, значит,
(4,472)2 < 20 < (4,473)2.
Итак, наша задача получила решение с точностью до трех значащих цифр; такая точность вполне достаточна во многих практических измерениях. Можно считать, что
x = 4,47.
Дадим теперь общее определение приближенного корня.
Приближенными значениями квадратного корня из данного числа с точностью до единицы называются два последовательных натуральных числа, из которых квадрат первого меньше, а квадрат второго больше данного числа.
Первое из этих чисел называется приближенным значением корня с недостатком, второе — приближенным значением корня с избытком.
Записываются приближенные значения корня так:
Примеры.
Вместо слов «приближенное значение квадратного корня» часто говорят просто «приближенный квадратный корень».
Чтобы найти приближенный корень с точностью до 1 с недостаткам, надо найти наибольшее натуральное число, квадрат которого меньше подкоренного числа. Это можно сделать или путем испытаний, или пользуясь таблицами квадратов натуральных чисел.
Прибавив 1 к приближенному корню с недостатком, получим приближенный корень с избытком.
Определение. Приближенными квадратными корнями с недостатком и с избытком из числа с точностью до 0,1 называются такие два числа, отличающиеся друг от друга на 0,1, из которых квадрат одного меньше, а квадрат другого больше данного числа.
Приближенные корни с точностью до 0,1 записывают в виде десятичных дробей с одним знаком после запятой. Прибавив 0,1 к приближенному корню с недостатком, получим приближенный квадратный корень с избытком.
Например, приближенными корнями с точностью до 0,1 из 32 будут числа 5,6 и 5,7, так как
5,62 = 31,36; 5,72 = 32,49.
Значит,
5,62 < 32 < 5,72.
Аналогично определяются приближенные корни с точностью до 0,01; 0,001 и т. д. из данного числа.
Пример. Числа 3,77 и 3,78 являются приближенными значениями с точностью до 0,01.
Проверим это:
(3,77)2 = 14,2129; (3,78)2 = 14,2884.
Значит,
(3,77)2 < 14,24 < (3,78)2.
Итак, числа 3,77 и 3,78 отличаются друг от друга на 0,01; квадрат первого меньше, а квадрат второго больше, чем 14,24. Это и означает, что 3,77 и 3,78 суть приближенные корни из 14,24 с точностью до 0,01.