Законы сложения

Убедимся в том, что при сложении рациональных чисел остаются в силе основные законы сложения, установленные для положительных чисел.

Переместительный закон. Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

a + b = b + a.

Это следует из правил сложения рациональных чисел.

В самом деле, если числа имеют одинаковые знаки (правило 1), то мы складываем их абсолютные величины, то есть положительные числа, а для них переместительное свойство сложения справедливо.

Если же числа имеют противоположные знаки (правило 2), то мы их большей абсолютной величины вычитаем меньшую независимо от того, стоит ли число с большей абсолютной величиной на первом или на втором месте. Значит, и здесь величина суммы не зависит от порядка слагаемых.

Например:

5 + (-7) = -(7-5) = -2 и
(-7) + 5 = -(7-5) = -2.

В правилах 3 и 4 ничего не говорится о порядке слагаемых, значит, они верны при любом порядке слагаемых.

Переместительный закон справедлив при сложении любого числа слагаемых.

Покажем это на примере.

Складывая числа (-5), 2 и (-4) в любом порядке, мы получим одно и то же число (-7):

(-5) + (+2) + (-4) = (-3) + (-4) = -7
(+2) + (-5) + (-4) = (-3) + (-4) = -7
(-4) + (+2) + (-5) = (-2) + (-5) = -7
и т. д.

Сочетательный закон. При сложении рациональных чисел остается в силе сочетательный закон сложения.

Убедимся в этом на примере суммы трех слагаемых:

(a + b) + c = a + (b + c).

При a = -5, b = 3, c = -7 получим:

[(-5) + (+3)] + (-7) = (-2) + (-7) = -9
и (-5) + [(+3) + (-7)] = (-5) + (-4) = -9.

Нередко в вычислениях одновременно пользуются и переместительным и сочетательным законами.

Приведем такой пример.

Вычислим сумму

187 + 46 + 38 + 54 + 113.

Переместим слагаемые так:

187 + 113 + 46 + 54 + 38.

Произведем сложение в таком порядке:

(187 + 113) + (46 + 54) + 38 = 300 + 100 + 38 = 438.

Такое одновременное применение переместительного и сочетательного законов иногда выражают кратко в виде следующего правила:

Слагаемые можно соединять в группы любым способом.

При вычислении суммы, содержащей и положительные и отрицательные слагаемые, можно применять следующее правило:

Чтобы сложить несколько рациональных чисел, можно сложить отдельно все положительные, отдельно все отрицательные числа и полученные два числа сложить по правилу сложения двух чисел.

В справедливости этого правила нетрудно убедится.

Пользуясь переместительным законом, расположим (мысленно) слагаемые так, чтобы сначала стояли все положительные слагаемые, а за ними все отрицательные. Затем, пользуясь сочетательным законом, сложим отдельно все положительные слагаемые и отдельно все отрицательные. Получим два числа, которые сложим по правилу сложения двух рациональных чисел.

Пример. Сумму

(-5) + (+4) + (-10) + (+12)

можно вычислить так:

1) Сложить положительные слагаемые:

(+4) + (+12) = +16.

2) Сложить отрицательные слагаемые:

(-5) + (-10) = -15.

3) Сложить полученные суммы:

(+16) + (-15) = 1.