Сложение дробей

Задача 1. В первом классе роздали a тетрадей, во втором b тетрадей. Каждый ученик получил по m тетрадей. Сколько было учеников в обоих классах?

Решим задачу двумя способами.

1-й способ.

1) Сколько было учеников в первом классе?

учеников.

2) Сколько было учеников во втором классе?

учеников.

3) Сколько было учеников в обоих классах?

учеников.

2-й способ.

1) Сколько роздано тетрадей в обоих классах?

(a + b) тетрадей.

2) Сколько было учеников в обоих классах?

учеников.

Сравнивая оба ответа, заключаем, что

(1)

Справедливость этого равенства для любых рациональных значений a, b и m () можно показать так.
Мы знаем свойство деления (§ 21): чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить каждое слагаемое на это число и полученные частные сложить. Значит,

Читая это равенство справа налево, получим равенство (1). Значит, сложение выполнено нами верно.

Правило. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и сумму разделить на их общий знаменатель.

При сложении дробей с различными знаменателями надо предварительно привести их к общему знаменателю.

Задача 2. Школьники выехали на экскурсию в город. Они проехали до станции на лошадях a километров со скоростью v км в час, затем поездом b километров со скоростью, в m раз большей. Сколько часов школьники находились в пути?

Решение.

1) До станции школьники ехали часов.

2) Скорость поезда равна mv км в час.

3) Школьники ехали поездом часов.

4) Всего школьники пробыли в пути часов.

Чтобы упростить полученный ответ, произведем сложение. Так как знаменатели дробей различны, то надо дроби сначала привести к общему знаменателю. Легко видеть, что общий знаменатель mv. Значит, числитель и знаменатель первой дроби надо умножить на m.

Получим: