История десятичных дробей

История десятичных дробей тесно связана с метрологией — учением о мерах. Уже во II в. до н. э. Существовала десятичная система мер длины. Примерно в III в. появилась десятичная система мер массы и объема. Тогда же возникло и понятие десятичной дроби.

Правила вычисления с десятичными дробями описал знаменитый ученый Джемшид ибн Масуд аль-Каши, живший в городе Самарканде в начале XV в. Вместо запятой аль-Каши использовал вертикальную черту, отделявшую дробную часть. Через 150 лет после аль-Каши десятичные дроби заново изобрел фламандский инженер и ученый Симон Стевин.

История обыкновенных дробей

С древних времен людям приходилось считать предметы и измерять длины, время, площади, вести расчеты за покупки и пр. Не всегда результат выражался натуральным числом, приходилось учитывать части и доли.

В истории русского языка слово дробь появилось в VIII в., оно происходит от глагола дробить - «разбивать». В учебниках математики XVII в. дроби назывались «ломаными числами».

В Риме пользовались двенадцатеричными дробями, т. е. обыкновенными дробями, у которых в знаменателе стояло число 12. Дробь 1/12 римляне называли одной унцией, 5/12 — пятью унциями.

История натуральных чисел

Слово арифметика происходит от греческого слова арифмос, что означает «число». Можно сказать, что арифметика — это наука о числах и действиях с ними.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Египте, Вавилоне, Китае и Индии, накопленные математические знания которых были развиты и продолжены учеными Древней Греции.

Термин натуральное число впервые употребил в VI в. в своей книге «О введении в арифметику» Боэций — римский ученый, переводивший на латынь работы математиков прошлого.

Среднее арифметическое чисел

Во многих видах спорта выступление участника оценивается одновременно несколькими судьями. Оценки судей часто оказываются различными. Чтобы объективно оценить выступление спортсмена, выводится так называемый средний балл. Все выставленные значения оценок складываются, и полученная сумма делится на число оценок. Так, например, если пять судей дали спортсмену оценки 9,1; 9,3; 9,5; 9,5; 9,2, то средний балл равен дроби

Процентные расчеты

Мы уже говорили о том, что некоторые доли целого имеют свои собственные названия: половина, треть и четверть. Эти доли выражают довольно большие части целого. А в тех случаях, когда нужны маленькие части, обычно используют проценты. Слово процент происходит от латинских слов pro centum (на сто) и означает сотую долю целого. Проценты обозначают с помощью специального значка «%». Например, 1% - это 0,01 часть целого, 12,5% - это 0,125 целого и т. п.

Деление на десятичную дробь

Деление на десятичную дробь легко заменить делением на натуральное число. Для этого вспомним, что при увеличении делителя и делимого в одно и то же число раз частное не изменяется. Например, 5,7 : 0,19 = 570 : 19 = 30.

В этом примере делитель и делимое были одновременно увеличены в 100 раз. Фактически это увеличение свелось к перемещению запятой в делителе и делимом на два знака вправо, именно столько знаков после запятой и было в делителе.

При письменных вычислениях в столбик обычно записывают уже увеличенные делитель и делимое.

Округление чисел

Определяя координаты точки на координатном луче, мы последовательно выясняем, чему равна целая часть координаты, какая цифра стоит в разряде десятых, сотых, тысячных и т. д. Этот процесс может оказаться бесконечным. Так, на рисунке с последовательным увеличением в 10 раз от рисунка а) до г) на координатном луче показана точка C, координата которой равна 0,(3).

Координата 0,(3)

На рисунке а) мы видим, что 0,3 < 0,(3) < 0,4.

Бесконечные десятичные дроби

В предыдущем пункте вы научились делить десятичные дроби на натуральные числа и использовали это умение для перевода обыкновенных дробей в десятичные. Во всех случаях на каком-то шаге деления в остатке получался нуль, и деление заканчивалось. Однако так бывает далеко не всегда. Попробуем, например, перевести в десятичную дробь число 1/3. Для этого число 1 будем делить на 3.

Пример получения бесконечной десятичной дроби

Деление десятичной дроби на натуральное число

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей сводится к выполнению соответствующих действий с натуральными числами. К действиям с натуральными числами приводит и деление десятичных дробей.

Во многих случаях деление десятичной дроби на натуральное число приходится выполнять в столбик.

Разделим, например, десятичную дробь 25,92 на натуральное число 6.

Умножение десятичных дробей

При увеличении одного из множителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз. Это свойство позволяет свести умножение десятичных дробей к умножению натуральных чисел. Пусть, например, нужно умножить 7 на 1,2.

Произведение чисел 7 и 1,2 в 10 раз меньше произведения 7 · 12, значит,

7 · 1,2 = (7 · 12) : 10 = 84 : 10 = 8,4

Рассмотрим еще один пример.

Вычислить 0,007 · 0,12.

Pages